Question

Es sei (X,d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ A ⊂ X. Der Abstand von x ∈ X zur

Menge A wird definiert durch:

dist(x, A) := inf{d(x, y) : y ∈ A}

a) Es gilt dist(x, A) > 0 genau dann, wenn x ∈ (Ac)◦.

b) Die Abbildung dist(·, A) : X → R, x → dist(x, A), ist Lipschitz-stetig mit L = 1.

  

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Vom Duplikat:

Titel: Metrischer Raum und Abstand zur Menge

Stichworte: metrischer,raum,lipschitz,stetig

Es sei (X,d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ A⊂X. Der Abstand von x∈X zur Menge A wird definiert durch

dist (x,A):= inf {d(x,y) : y∈A}

Zeigen Sie:

(a) Es gilt dist(x,A)>0 genau dann, wenn x∈(A^c)°.

(b) Die Abbildung dist(*,A) : X→ℝ , x↦dist(x,A) ist Lipschitz-stetig mit L=1.

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(a) Es gilt dist(x,A)>0 genau dann, wenn x∈(A^c)°
"=>" $Es gilt dist(x,A)=inf(d(x,y) | x\in A)$0

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https://www.mathelounge.de/286662/ein-metrischer-raum-der-abstand-menge-wird-definiert-durch

Answer 1

a) 

"=>" Angenommen x kein Element des Inneren des Komplements von A in X, dann folgt x ist im Abschluss von A und somit: dist(x, A)=0. Wdspr.

"<=" Angenommen dist(x,A)=0, dann $$inf_{a \in A}d(x,a)=0$$ Also ist x ein Häufungspunkt von A und somit liegt er in dem Abschluss von A. Insbesondere kein Element des inneren Komplements von A. Wdpsrch. Damit dist(x,A)>0, da dist(.,A) stets eine nicht negative Funktion ist.

b) Die Abbildung dist(·, A) : X → R, x → dist(x, A), ist Lipschitz-stetig mit L = 1.
Seien x,y beliebige feste Punkte in X.
O.b.d.A. dist (x,A)>=dist(y,A)
$$||dist(x,A)-dist(y,A)||_2=(inf_{a\in A}d(x,a)-inf_{a\in A}d(y,a)) \leq d(x,a')-d(y,a') \leq d(x,y)$$