Wie komme ich auf Fälle der Ungleichung mit Beträgen? |4-2x| ≥ |x-3|+5

Question

Hallo ich habe eine Frage zu folgender Ungleichung:

|4-2x| ≥ |x-3| +5 

Fall 1: x ≤ 2

(4 - 2·x) ≥ -(x - 3) + 5 
x ≤ -4 --> x ≤ -4

Fall 2: 2 < x < 3

-(4 - 2·x) ≥ -(x - 3) + 5 
x ≥ 4 --> Keine weitere Lösung

Fall 3: x ≥ 3

-(4 - 2·x) ≥ (x - 3) + 5 
x ≥ 6 --> x ≥ 6

Fall 1 und 3 weiß ich, kein Problem. Aber wie komme ich auf Fall 2?

Grundlegend, wie sehe ich, dass es drei Fälle sind. Ich sehe nämlich 4:

4-2x >= 0; -4+2x < 0; x-3>= 0; -x+3 < 0

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Fall 1

4-2x >= x-3+5

x<= -(2/3)

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Fall 2

-4+2x >= x-3+5

x>= 6

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Fall 3

4-2x >= x-3+5

x <= -(2/3)

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Fall 4

4-2x >= -x+3+5

x <= 4

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Ergebnisse dabei sind: x<= -(2/3), x>= 6 und x<= 4

Komme ich auf die selbe Schnittmenge der Lösungen wie die Anderen hier.

Aber ist das denn so richtig, ich habe einfach immer die Regel für |x| befolgt.

Ich sehe dabei nicht: Fall 2: 2 < x < 3

Es würde mich sehr freuen, wenn mir Jemand eine Antwort geben könnte, wie ich auf die Fälle komme. Grundsätzlich würde mich das interessieren, wie das allgemein bei Ungleichungen ist.

Comments

EDIT: Du meinst Beträge? 

[4-2x]=[x-3]+5

Also

|4-2x|=|x-3| +5      ?

Und du wolltest da ein Ungleichheitszeichen dazwischen haben. 

---

JA genau ich habe das ungleich ganz vergessen

|4-2x|>=|x-3| +5

Ich würde mich sehr über eine weitere Antwort freuen! 

Da mir das mit dem einen Fall nicht bekannt ist. Bzw. was ich machen muss wenn ich zwei Beträge habe

Answer 1

die beiden Terme in den Beträgen haben genau die beiden Nullstellen 2 und 3.

ℝ = ] -∞ ; 2[ ∪ [ 2 ;3 ] ∪ ] 3 ; ∞ [

In jedem Teilintervall ist das Vorzeichen der Terme in den Beträgen jeweils konstant. Die Gleichungen können also problemlos betragsfrei geschrieben werden und genau das soll die Fallunterscheidung bewirken.

Drei Fälle reichen also aus.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Betrachte die geknickten Graphen hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+%7C4-2x%7C%3B+y%3D%7Cx-3%7C+%2B5+%3B+x%3D2%3B+x%3D3

Du sollst rausfinden, für welche x-Werte die blau Kurve über der roten liegt.

1. Im Bereich von -unendlich bis 2 betrachtest du 2 Halbgeraden.

2. Im Bereich von 2 bis 3 betrachtest vom roten Graphen immer noch die gleiche Halbgerade, blau aber eine andere.

3. Im Bereich von 3 bis unendlich hast du nochmals die gleiche blaue Halbgerade und dann noch die andere rote.

Da im 2. Bereich blau immer unterhalb von rot ist, solltest du dort auch keine Punkte der Lösungsmenge finden, wenn du das rechnest.

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Danke Lu!

ich habe jetzt keine Fragen mehr. Ich hatte das oben schon richtig gemacht, nur war mir bis eben unklar wie ich dann auf die Lösungsmenge komme, dazu muss ich dann eben den Merksatz für Betragsungleichungen anwenden und dann mein Ergebnis prüfen.

Sowas wie x<0 und x>0 würde als Bedingung keinen Sinn machen daher, kann so etwas in der Art dann keine Lösung sein.

DANKE!

Answer 3

Ich bin wahrscheinlich mit meiner Antwort etwas spät dran.

Wie gehe ich standardmäßig vor :

Ist ein Betragszeichen vohanden muß unterschieden werden
ob der Term im Betragszeichen positiv oder negativ ist.

Es gilt also zunächst zu berechnen wann der Term 0 ist.

Die Berechnung ergibt in diesem Fall  2 und 3.

Dann male ich mir einen Zahlenstrahl auf und trage die
Stellen ein.

Jetzt sieht man sehr schön, dass es 3 Bereiche sind die
untersucht werden müssen.

mfg Georg