Man löse die Ungleichung mit Beträgen x - |2x + 4| + | x-2 | > 1.

Question

Aufgabe

Man löse die Ungleichung

Problem/Ansatz:

Unterteile die Ungleichung in 4 mögliche Fälle.

Kann mir bitte einer erklären, wie man unterteilt (oder warum das so unterteilt wird)

Man löse die Ungleichung mit Beträgen x - |2x + 4| + | x-2 | > 1.

Fallunterscheidung in 4 Fälle?

Answer 1

Du musst die Fälle danach unterteilen, ob der Term in

dem Betrag pos. oder neg ist

2x+4 ≥ 0 <=>  x≥ -2

und x-2  ≥ 0 <=>  x≥ 2

Also hast du die Fälle x<-2

  und    -2 ≤ x ≤ 2

und    x≥ 2

Im ersten Fall hast du also die Ungleichung

x - ( -2x - 4)   - x + 2 > 1

denn beide Beträge werden dann durch das Negativ des

Terms im Betrag ersetzt , das gibt also

   x + 2x + 4  - x + 2 > 1

      2x + 6 > 1

             2x > -5

               x > -2,5

Also hast du in diesen die Lösungen im Intervall ]-2,5 ; -2 [

Im 2. Fall   -2 ≤ x ≤ 2   hast du

 x - ( 2x + 4)   - x + 2 > 1

<=>     x - ( 2x + 4)   - x + 2 > 1

<=>       - 2x  - 2  >  1

<=>       - 2x    >   3

<=>       x    <   -1,5

also L =   [ -2 ; -1,5 [

3. Fall     x≥ 2     das gibt

x - (2x + 4) + x-2  > 1

<=>   x - 2x - 4+ x-2  > 1

<=>       0  > 7 also   L = ∅

Lösungsmenge insgesamt also  ]-2,5 ; -2 [ ∪   [ -2 ; -1,5 [  =  ] -2,5 ; -1,5 [.

Siehst du auch am Graphen, alles was oberhalb der roten Linie liegt.

~plot~ x-abs(2*x+4)+abs(x-2);1 ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Es geht um die Ungleichung: \(x-|2x+4|+|x-2|>1\).

Diese kann man zunächt etwas geschickter schreiben:$$x-2|x+2|+|x-2|>1$$

Wir erkennen nun, dass wir 3 Fälle unterscheiden müssen.

1. Fall: \(x\ge2\)

Sowohl \((x+2)\) als auch \((x-2)\) sind positiv, daher dürfen wir die Betragszeichen weglassen:$$1<x-2(x+2)+(x-2)=x-2x-4+x-2=-6\;\;\Leftrightarrow\;\;1<-6\;\;\text{Widerspruch}$$Dieser Fall liefert keine Lösung.

2. Fall: \(-2\le x<2\)

Nun ist \((x+2)\) positiv und \((x-2)\) negativ, die Ungleichung ohne Beträge lautet nun:$$1<x-2(x+2)-(x-2)=x-2x-4-x+2=-2x-2$$$$\Leftrightarrow\;\;1<-2x-2\;\;\Leftrightarrow\;\;2x<-3\;\;\Leftrightarrow\;\;x<-\frac{3}{2}$$Dieser Fall liefert die Lösungen: \(-2\le x<-\frac{3}{2}\).

3. Fall: \(x<-2\)

Nun sind \((x+2)\) und \((x-2)\) negativ, die Ungleichung ohne Beträge lautet nun:$$1<x+2(x+2)-(x-2)=x+2x+4-x+2=2x+6$$$$\Leftrightarrow\;\;1<2x+6\;\;\Leftrightarrow\;\;2x>-5\;\;\Leftrightarrow\;\;x>-\frac{5}{2}$$Dieser Fall liefert die Lösungen: \(-\frac{5}{2}<x<-2\).

Fassen wir alle Fälle zusammen, erhalten wir als Lösungsmenge \(x\in\left]-\frac{5}{2}\;;\;-\frac{3}{2}\right[\).