Ungleichung mit Beträgen lösen: |4 -2x| ≥ |x - 3| + 5

Question

Folgende Betragsgleichung ist zu lösen:

|4 -2x| ≥ |x - 3| + 5

Comments

[4-2x]=[x-3]+5            Klammern auflösen

4+2x=x+3+5              Terme vereinfachen

4+2x=x+8                 |-2x         

4=-×+8                      |-8

-4=-x                          |(×-1)

4=x

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Hallo ,das ist eine betragsgleichung da soll x<-4 oder x>6 raus kommen 

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ij020: Das ist sogar eine Ungleichung mit zwei Beträgen. Vermutlich helfen dir die vorgeführten Verfahren bei den 'ähnlichen Fragen' weiter. Bsp. https://www.mathelounge.de/149348/losungsmenge-bei-ungleichung-bestimmen-x-2-≥-4-3x-1

Rauskommen wird bei deinem Beispiel: 

L = {x| x Element R, x≤-4 oder x>6} sagt Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7C4+-2x%7C+≥+%7Cx+-+3%7C+%2B+5

EDIT: Korrekt L = {x| x Element R, x≤-4 oder x≥6}

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Man muss 3 Fälle unterscheiden:

x <=2

2 < x <3

x > 3

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@Lu: Bei Dir fehlt die Lösung x = 6.

@Gast: Bei Dir fehlt der fall x >= 3.

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@hh182: Bei WolframAlpha fehlt x=6. Hast du eine Ahnung, woran das dort liegt?

Habe  inzwischen auch L = {x| x Element R, x≤-4 oder x≥6}

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Nun, WolframAlpha ist nicht frei von Fehlern. In der Number-Line-Darstellung ist die 6 übrigens enthalten!

Answer 1

⎮4 - 2·x⎮ ≥ ⎮x - 3⎮ + 5

Welche Fälle müssen wir unterscheiden?

4 - 2·x ≥ 0 --> x ≤ 2
x - 3 ≥ 0 --> x ≥ 3

Fall 1: x ≤ 2

(4 - 2·x) ≥ -(x - 3) + 5
x ≤ -4 --> x ≤ -4

Fall 2: 2 < x < 3

-(4 - 2·x) ≥ -(x - 3) + 5
x ≥ 4 --> Keine weitere Lösung

Fall 3: x ≥ 3

-(4 - 2·x) ≥ (x - 3) + 5
x ≥ 6 --> x ≥ 6

Zusammenfassung der Lösungen

x ≤ -4 ∨ x ≥ 6

Answer 2

Man mache eine Fallunterscheidung anhand
der Vorzeichenwechsel der Betragsargumente
und vereinfache das Ungleichungssystem:

| 4 - 2x | ≥ | x - 3 | + 5

⇔

| 4 - 2x | ≥ | x - 3 | + 5   und   x ≤ 2   oder
| 4 - 2x | ≥ | x - 3 | + 5   und   2 < x ≤ 3   oder
| 4 - 2x | ≥ | x - 3 | + 5   und   3 < x

⇔

4 - 2x ≥ 3 - x + 5   und   x ≤ 2   oder
2x - 4 ≥ 3 - x + 5   und   2 < x ≤ 3   oder
2x - 4 ≥ x - 3 + 5   und   3 < x

⇔

x ≤ −4   und   x ≤ 2   oder
x ≥ 4   und   2 < x ≤ 3   oder
x ≥ 6   und   3 < x

⇔

x ≤ −4   oder   x ≥ 6.

Answer 3

|4 -2x| ≥ |x - 3| + 5

Das Vorzeichen der beiden linearen Ausdrücke in den Betragsklammern ändert sich genau dann, wenn die beiden eine Nullstelle haben.

Also muss für die Fallunterscheidungen IR bei x=2 und x=3 unterteilt werden.

Die Bereiche sind somit x≤2, 2<x≤3 und x>3

1. Fall x≤2

|4 -2x| ≥ |x - 3| + 5         . Beträge richtig weglassen

Zwischenrechnung: Denke dir x=1: |2| ≥ |-2| + 5,  Beträge wie weglassen |2| = 2. |-2| = 2 = -(-2)

Also linken Teil so lassen und Betrag in rechtem Teil mit einem - berechnen.

4-2x ≥ -(x-3) + 5         |Klammern auflösen

4-2x ≥ -x + 3 + 5         |+2x

4 ≤ x + 8        |-8

-4 ≤ x         . 

Ungleichung ist erfüllt für alle x, die kleiner oder gleich -4 sind und zum 1. Fall gehören. Daher

L1 = {x| x≤-4}

2. Fall 2<x≤3

|4 -2x| ≥ |x - 3| + 5   . Beträge richtig weglassen. Denke x=2.5. Ohne schriftliche Zwischenrechnung. Die darfst du selbst noch ergänzen.

-(4-2x) ≥ -(x-3) + 5

-4+2x ≥ -x + 3 + 8

3x ≥ 12

x≥4.

Kein x aus dem Fall 2 ist grösser gleich 4. Daher L2 = {}

3. Fall x>3

|4 -2x| ≥ |x - 3| + 5   . Denke dir z.B. 4.

-(4-2x) ≥ (x-3) + 5

-4 + 2x ≥ x + 2       |-x +4

x ≥ 6

L3 = {x| x≥6}

Insgesamt.

L = {x| x≤-4 oder x≥6}

Anmerkung: Wenn ihr die Betragsfunktionen zeichnen gelernt habt, ist das viel weniger anfällig für Flüchtigkeitsfehler, als die rechnerische Methode. Schau mal den Graphen in WolframAlpha  an. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C4+-2x%7C+≥+%7Cx+-+3%7C+%2B+5

Bestenfalls kannst du L gleich ablesen. Schlechtestenfalls siehst du welche beiden Geradenstücke du schneiden musst.

Bestimme die Schnittstelle mit einer Gleichung (Nicht Ungleichung)

Du weisst ja anhand des Graphen bereits welche Seite der Schnittstelle du zum Schluss brauchst.

Comments

Danke Leute super antworten :-)