Ungleichungen mit Beträgen: 1/(|x-2|) > 1/(1+|x-1|) . Komme auf 0>0.

Question

Hallo Mathe Freunde,

ich habe folgende Ungleichung :

1/(|x-2|) > 1/(1+|x-1|) Nun habe ich erste mit (|x-2|) und dann mit (1+|x-1|) multipliziert um den Bruch auf zu lösen. Bis hier ist die Ungleichung auch kein Problem da die Beträge ja immer positiv sind. Ich hab dann:

1+|x-1|>|x-2|

Weiter gehts mit einer Fall Unterscheidung und ich hab mit |x-1|>0 und |x-2|>0 begonnen. Nun ist mein Problem das wenn ich 1+x-1>x-2 weiter umforme das x komplett raus fällt.

Bei nächsten Fall wird es für mich noch komischer, wenn ich x-1<0 und x-2<0 wähle dann passiert das:

1-(x-1)>-(x-2)

1-x+1>-x+2

0>0 Was ja offensichtlich falsch ist.

Was mach ich falsch?

Comments

Siehe https://www.mathelounge.de/61946/zeigen-sie-alle-folgende-ungleichungen-mit-betragen-gelten

Du machst nichts falsch. Wenn x-1 < 0 und x - 2 < 0 bzw. x < 1 und x < 2, ergibt sich 0 > 0, was wie du ja schon sagtest falsch ist. Für x < 1 und x < 2 bzw. wenn x-1 < 0 und x-2 < 0 kann die Ungleichung einfach nicht erfüllt sein.

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Also ist die Lösungsmenge {x<1} oder?

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Thilo87 hat doch im Link die Lösungsmenge angegeben, die du deiner Rechnung entnehmen kannst. ;)

Darstellung auf dem Zahlenstrahl vgl 'number line' hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28%7Cx-2%7C%29+%3E+1%2F%281%2B%7Cx-1%7C%29+

Answer 1

1/|x - 2| > 1/(1 + |x - 1|)

Für x <= 1

1/(-(x - 2)) > 1/(1 + (-(x - 1)))
nicht erfüllt

Für 1 <= x <= 2

1/(-(x - 2)) > 1/(1 + (x - 1))
1 < x < 2 ∨ x < 0

Für x >= 2

1/(x - 2) > 1/(1 + (x - 1))
x < 0 ∨ x > 2

Man bildet jetzt die Vereinigungsmenge der Lösungen

Die Lösung ist daher x ≠ 2 ∧ x > 1

Comments

L=(1,2) u(2,∞)

Loch bei x=2.

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Oh ja danke für die Verbesserung. Ist oben gefixt.