Beweise für Ungleichungen mit Beträgen

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich möchte wissen wie man die folgende Ungleichung beweisen würde.

$$\frac{|x + y|}{1+|x+y|} \leq \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|} + \frac{|y|}{1+|y|} \text{ , mit x} \in \mathbb{R}$$

LG,

Karni

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{|x+y|}{1+|x+y|}=\frac{1+|x+y|-1}{1+|x+y|}=1-\frac{1}{1+|x+y|}\le1-\frac{1}{1+|x|+|y|}=\cdots$$Im letzten Schritt wurde der Nenner durch Anwendung der Dreieckungleichung \(|x+y|\le|x|+|y|\) vergrößert (oder gleich gelassen). Dadurch wurde der Bruch verkleinert (oder gleich gelassen), sodass von der \(1\) weniger (oder gleich viel) subtrahiert wird. Jetzt rechnet man weiter:$$\cdots=\frac{1+|x|+|y|}{1+|x|+|y|}-\frac{1}{1+|x|+|y|}=\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}$$Damit ist die linke Seite der Ungleichungskette gezeigt.

Die rechte Seite geht schneller:$$\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}=\frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{|y|}{1+|x|+|y|}=\cdots$$Wir verkleinern beide Nenner durch Weglassen eines positiven Beitrags (oder lassen sie ungeändert). Dadurch werden beiden Brüche größer (oder bleiben gleich). Wir rechnen weiter:$$\cdots\le\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$$Damit ist auch die rechte Seite der Ungleichungskette gezeigt.

Comments

hi, danke für die Antwort. Die linke Seite habe ich schon verstanden, leider kann ich aber die rechte Seite nicht nachvollziehen. kannst Du es nochmal erklären?

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Klar doch... Ist ja mein Fehler, dass ich zu schlecht erklärt habe.

Also die Aufteilung des Zählers bzw. des Bruches in 2 Brüche dürfte noch klar sein:$$\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}=\frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{|y|}{1+|x|+|y|}$$Dabei sind beide Seiten noch exakt gleich. Jetzt lassen wir im Nenner der Brüche jeweils einen Summanden weg. Dadurch wird durch eine kleinere Zahl dividiert und der Bruch wird größer:$$\frac{|x|}{1+|x|+|y|}\le\frac{|x|}{1+|x|}\quad;\quad\frac{|y|}{1+|x|+|y|}\le\frac{|x|}{1+|y|}$$Das kannst du dir auch rein mathematisch klar machen:$$1+|x|\le1+|x|+|y|\;\Rightarrow\;\frac{1}{1+|x|}\ge\frac{1}{1+|x|+|y|}\;\Rightarrow\;\frac{|x|}{1+|x|}\ge\frac{|x|}{1+|x|+|y|}$$Mit diesen beiden abgeschätzen Summen folgt nun:$$\frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}\le\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$$

Answer 2

Hallo

 1. <= : Zähler vergrößert

danach Bruch auseinandergezogen und jeweils den Nenner verkleinert  dadurch beide Brüche vergrößert

Gruß lul