Logarithmen und Exponenten Komplexe Zahlen

Question

ich soll zwei Aufgaben lösen weiß allerdings nicht wie ich sie lösen soll...

a) z₁=ln(-e)

b)z₂= ln(√3/2+j1/2)

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann!

Mfg

Answer 1

Aloha :)

Bei \(z_1\) würde ich das Argument \(-e\) der Logarithmusfunktion als komplexe Zahl in Polardarstellung schreiben, weil sich daraus der Logarithmus leicht berechnen lässt. Ich führe die Umformung mal vor:$$-e=e\cdot(-1)=e\cdot(\underbrace{\cos(\pi)}_{=-1}+i\cdot\underbrace{\sin(\pi)}_{=0})=e\cdot e^{i\pi}=e^1\cdot e^{i\pi}=e^{1+i\pi}$$Weil die Logarithmus-Funktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, finden wir$$z_1=\ln(-e)=\ln\left(e^{1+i\pi}\right)=1+i\pi$$

Bei \(z_2\) verfahren wir nach demselben Prinzip und schreiben die Zahl zunächst in Polardarstellung um:$$\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}=e^{i\,\arctan(\frac{1/2}{\sqrt3/2})}=e^{i\,\pi/6}$$Die Umwandlung funktioniert hier ohne große Rechnerei, weil der Betrag der Zahl \(\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\) ist. Damit finden wir:$$z_2=\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}+i\frac{1}{2}\right)=\ln\left(e^{i\,\pi/6}\right)=i\,\frac{\pi}{6}$$

Comments

ist der winkel von e=π ? oder wie kommen sie auf dieses pi? in der ersten rechnung bei z1?

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Ich habe die Umformung in z1 nicht ganz verstanden :/

Wieso steht da = e * e^iπ und dann = e¹* e^iπ 

Hab die beiden schritte leider nicht ganz verstanden

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Ich habe ausgenutzt, dass \(\cos(\pi)=-1\) und \(\sin(\pi)=0\) ist. Daher gilt nämlich:$$-1=\cos\pi +i\,\sin\pi=e^{i\,\pi}$$Ich habe also die Zahl \(-1\) in ihre Polardarstellung umgerechnet. Wir müssen aber nicht nur \(-1\), sondern \(-e\) in Polardarstellung umrechnen:$$-e=e\cdot(-1)=e\cdot e^{i\,\pi}$$Nach den Potenzgesetzen gilt:$$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$Das nutze ich jetzt weiter aus, indem ich \(e\) als \(e^1\) schreibe:$$e\cdot e^{i\pi}=e^1\cdot e^{i\,\pi}=e^{1+i\pi}$$Jetzt haben wir die Zahl \(-e\) vollständig in Polardarstellung und können den Logarithmus darauf wirken lassen.

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Ahhh, habs verstanden! Vielen Dank!!

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Aber woher kommt das pi noch mal in cos(pi) und isin (pi)

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Ich habe alles verstanden bis auf das π , wie sie das herausgefunden haben

Könnten Sie das bitte noch ein mal erklären, das wäre sehr lieb.

Mfg

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Ich möchte ja \(-1\) mit Hilfe von Winkelfunktionen ausdrücken. Da passt es gut, dass \(\cos(\pi)=-1\) ist und \(\sin(\pi)=0\). Dann ist nämlich:$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\cdot\sin(\pi)=-1+i\cdot0=-1$$Wenn du das nicht sofort siehst, fehlt dir vermutlich einfach nur etwas Übung darin. Wenn es dir hilft, kannst du auch merken, dass \(e^{i\pi}=-1\) ist.

Übrigens wurde die Formel:$$e^{i\pi}+1=0$$zur "schönsten" Formel der Mathematik gewählt, weil sie alle wichtigen "Leute" der Mathematik enthält: die Eulersche Zahl \(e\), die Kreiszahl \(\pi\), die imaginäre Einheit \(i\), und die beiden neutralen Element der Addition \(0\) und der Multiplikation \(1\).

Und es ist sicher kein Nachteil, wenn man die schönste Formel der Mathematik auswendig kennt. Vielleicht kann man das mal bei "Wer wird Millionär" oder so brauchen? ;)

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Nochmals vielen Dank für Ihre super Erklärungen!

Answer 2

Hallo,

siehe hier:

https://mathepedia.de/Logarithmus.html

Aufgabe a)

z₁ = ln(-e)

allgemein siehe Dokument:

ln(−x)=ln∣−x∣+i arg(−x)=ln (x) +iπ,x∈R

z₁= ln (e) +iπ

z₁= 1 +iπ

Aufgabe b)

siehe hier, ein ähnliches Beispiel:

https://www.youtube.com/watch?v=RR9O1l5xXg4

Berechnung nach dieser Formel:

w=ln∣z∣+i(argz+2kπ),k∈Z

Comments

Hat mir leider nicht sonderlich weiter geholfen. Das Video war aber gut!

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Naja,bin ja auch kein Hochschullehrer, ohne Vorlesung wirst Du das wohl nicht verstehen. So  einfach ist  dann auch nicht. Hab es ja nur gut gemeint.

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Das weiß ich zu schätzen! Vielen Dank!

Ja, während der Corona Krise ist es ganz schwer. Die Dozentin ist auch nicht sonderlich gut und macht keine Online Vorlesungen. Es wird eine Vorlesung hochgeladen und erwartet, dass man sich alles selbst beibringt. Fragestunden gibt es alle 2 Wochen ein mal..

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Und aus den Folien die zur Verfügung gestellt werden wird vieles nicht immer klar

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Eine frage hätte ich allerdings noch.

z1 = ln(-e) in Exponentialform ist z1= ln (e) +iπ oder wie kommen Sie drauf?