Ich möchte ja \(-1\) mit Hilfe von Winkelfunktionen ausdrücken. Da passt es gut, dass \(\cos(\pi)=-1\) ist und \(\sin(\pi)=0\). Dann ist nämlich:$$e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\cdot\sin(\pi)=-1+i\cdot0=-1$$Wenn du das nicht sofort siehst, fehlt dir vermutlich einfach nur etwas Übung darin. Wenn es dir hilft, kannst du auch merken, dass \(e^{i\pi}=-1\) ist.
Übrigens wurde die Formel:$$e^{i\pi}+1=0$$zur "schönsten" Formel der Mathematik gewählt, weil sie alle wichtigen "Leute" der Mathematik enthält: die Eulersche Zahl \(e\), die Kreiszahl \(\pi\), die imaginäre Einheit \(i\), und die beiden neutralen Element der Addition \(0\) und der Multiplikation \(1\).
Und es ist sicher kein Nachteil, wenn man die schönste Formel der Mathematik auswendig kennt. Vielleicht kann man das mal bei "Wer wird Millionär" oder so brauchen? ;)