Konvergenz und Summe einer Reihe. Partialbruchzerlegung von 1/(n(n+1)(n+2))

Question

Ich weiß es soll mit partialbruchzerlegung gehen, schaffe es aber nicht das ganze so aufzulösen, dass ich einen Wert heraus bekomme...

\( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \)

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Das Ziel deiner Umformung kannst du hier ansehen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%28n%28n%2B1%29%28n%2B2%29%29+ 

Suche danach deinen Rechenfehler.

Answer 1

$$\sum_{n=1}^N\frac2{n(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac2{n+1}+\frac1{n+2}\right)$$$$\quad=\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)-\sum_{n=1}^N\left(\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$$$$\quad=\left(1-\frac1{N+1}\right)-\left(\frac12-\frac1{N+2}\right).$$Bilde nun den Grenzwert für \(N\to\infty\) und erhalte$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac14.$$

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Ok cool danke. Soweit so gut, hab ich auch kapiert, nur eine Frage dazu noch. Warum steht in der ersten Zeile im Zähler eine 2? In der Aufgabe ist ja eine 1. kann man das sonst nicht rechnen?

:D Danke

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Das hat lediglich den Sinn, den Faktor \(\frac12\) zu vermeiden. Notwendig ist das aber nicht.

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Also rechne ich am Anfang mal und am Ende durch 2?

Ok danke :)