Zeigen Sie, das die Reihe Konvergent ist und ermitteln Sie die Summe. ∑_(n≥2) 1/ (n(n+1)(n+2))

Question

 ∑      1/n(n+1)(n+2)

n≥2

Wäre schön wenn jemand für das weitere Verständnis dies einmal schlüssig vorrechnen würde. Danke

Answer 1

Mit Partialbruchzerlegung erhält man: \(\begin{aligned}\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)} & = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}+(-1)\cdot\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{n+2} \\&= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+2}\\&= \underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}_{a_n}-\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}_{a_{n+1}}\end{aligned}\)

Damit hat man eine Teleskopsumme. Für alle \(k\in\mathbb{N}\) mit \(k\geq 2\) ist \(\begin{aligned}\sum_{n=2}^{k}\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)} &=\sum_{n=2}^{k}\left(\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}_{a_n}-\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}_{a_{n+1}}\right) \\&=\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}\right)}_{a_2}-\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)}_{a_{k+1}} \\&= \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) \\&= \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{3}{6}-\frac{2}{6}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) \\&= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right) \\&= \frac{1}{12}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2}\text{.}\end{aligned}\)

Daher ist \(\begin{aligned}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)} &= \lim_{k\to\infty} \sum_{n=2}^{k}\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}\text{.} \\&= \lim_{k\to\infty}\left( \frac{1}{12}-\frac{1}{2}\cdot\overbrace{\frac{1}{k+1}}^{\to 0} + \frac{1}{2}\cdot\overbrace{\frac{1}{k+2}}^{\to 0}\right) = \frac{1}{12}\end{aligned}\)

Damit konvergiert die Reihe mit Wert \(\frac{1}{12}\).