Wert einer unendlichen Reihe bestimmen. Σ 2/(k(k+1))

Question

Σ 2/(k(k+1)) 

ich habe folgendes Problem. Zu der untengenannten Reihe ist die Explizite Folge zu bestimmen.

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ k(k+1) }  } $$

Wie geht man jetzt hier vor? Bin gefühlte 2 Stunden am verzweifeln.

Ich habe versucht an den Partialsummen, der eingesetzten Werte eine Funktion abzuleiten, aber Erfolg sieht anders aus :(

Mit freundlichem Gruß

Daniel

Answer 1

Alternative Methode /sog. Patialbruchzerlegung

2/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1)          |  * Hauptnenner

2 = A(k+1) + Bk

2 = Ak + A + Bk       Trenne Summanden mit k und ohne k

2 = A      (I)

0 = Ak + Bk (II) inkl. (I)

0 = 2k + Bk

0 = k(2 + B)  . Damit für alle k richtig ==> B = -2

Also

2/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1)    = 2/k - 2/(k+1)

Nun Partialsumme bis k= n

sn = 2/1 - 2/2 + 2/2 - 2/3 + 2/3 - 2/4 + 2/4 - .... +2/n - 2/(n+1) | mittlere Summanden streichen. Dieses Zusammenschieben ist der Grund für die Bezeichnung Teleskopsumme.

sn = 2/1 - 1/(n+1)

Grenzwert (n--> unendlich)

sn → 2 - 0 = 2.

Comments

Alles klar vielen Dank.

Gibt es auch ein Verfahren, das man so gut wie immer anwenden kann?

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Bitte. Gern geschehen.

Verfahren, die fast immer gehen, kenne ich leider nicht. Schau mal bei den 'ähnlichen Fragen' , wie weit diese Methode benutzt werden kann.

Es ist bei Reihen ähnlich wie beim Integrieren (ebenfalls eine Summe über unendlich viele Summanden), dass man verschiedene Typen unterschiedlich behandelt.

Answer 2

Probiere mal 2n / (n+1)
kannst du mit Induktion beweisen

Comments

Ja das passt!

Wie kommt so schnell auf die Funktion?

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wenn du die zwei im Zähler erst mal weglässt und

rechnest ein paar Werte aus, gibt das nach dem Kürzen

1/2      2/3     3/4    4/5   etc   also  n/(n+1)

Dann wieder die 2 dazu .

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Alles klar vielen Dank...

Wie mache ich es denn bei Aufgaben die schwieriger sind?

Gibt es ein Verfahren, das man so gut wie immer anwenden kann?

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Ich kenne keins.