Konvergenz von verschiedenen Reihen. Geometrische Reihe, Σ ( 1 / ((n+1)n(n+2)) und ...

Question

Konvergenz von verschiedenen Reihen nachweisen:

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{2 n+3}} \)

(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) n(n+2)} \)

(c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3-8 n-16 n^{2}} \)

Comments

(a) lässt sich auf eine geometrische Reihe zurückführen.$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{5^{2n+3}}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{5^{2n+5}}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{25^n\cdot5^5}=\frac1{3125}\cdot\frac1{1-\frac1{25}}=\frac1{3000}.$$

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Versuche es bei b) und c) mal mit einer Partialbruchzerlegung.

Könnte sein, dass sich dann mit Teleskop-prinzip etwas machen lässt.

https://www.mathelounge.de/tag/teleskopsumme

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Σ+%28+1+%2F+%28%28n%2B1%29n%28n%2B2%29%29+

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%282+n%29-1%2F%281%2Bn%29%2B1%2F%282+%282%2Bn%29%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

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Eine Grenzwertaufgabe löst sich im Bruchteil einer Sekunde wenn du erkennst dass die höchste Potenz im Nenner steht. Ist dies der Fall konvergiert die Aufgabe gegen 0 (immer).

Sei es aber ein Sigma wie i.d. Fall wäre es die Summer aller Komponente, welche wieder gegen 1 konvergiert (als Element der ganzen Zahlen).


(Soviel ich weiß)