Partialbruchzerlegung einer Reihe \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ } \frac{2}{n(n+1)(n+2)}

Question

Aufgabe:
Es ist folgende Reihe gegeben: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ } \) \( \frac{2}{n(n+1)(n+2)} \) . Es soll gezeigt werden, dass die Reihe konvergiert und die Summe bestimmen. Dazu soll man die Partialbruchzerlegung verwenden.

Problem/Ansatz:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ } \) \( \frac{2}{n(n+1)(n+2)} \) =  \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) ( \( \frac{a}{n} \) +  \( \frac{b}{n+1} \) +  \( \frac{c}{n+2} \) )

Soweit konnte ich es umformen. Jedoch ist mir nicht so ganz klar wie ich a,b,c bestimme. Aus dem Internet weiß ich zwar, dass a=1, b=-2 und c=1 sind, aber wie man das bestimmt ist mir unklar.

Falls mir da jemand helfen kann wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Ansatz:$$\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}+\frac{c}{n+2}$$ Multipliziere mit dem Hauptnenner:$$2=a(n+1)(n+2)+b(n+2)n+c(n+1)n$$ Und setze spezielle \(n\)-Werte ein, die am besten Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(n+1)(n+2)\). Also:$$n=-1:\quad 2=-b \Rightarrow b=-2$$$$n=-2:\quad 2=2c \Rightarrow c=1$$$$n=0:\quad 2=2a \Rightarrow a=1$$

Comments

Ahhh, vielen Dank :)
Ich verstehe jetzt wie man da vor geht.

Answer 2

Aloha :)

Die angegebene Summe ist nicht definiert, weil \(n=0\) nicht einsetzbar ist. Wir korrigieren die fehlerhafte Aufgabenstellung und lassen die Summe bei \(n=1\) beginnen...

Für die Folgenglieder wählen wir eine Partialbruchzerlegung:$$a_n=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}$$mit den Koeffizienten$$A=\frac{2}{\cancel{n}(0+1)(0+2)}=1$$$$B=\frac{2}{(-1)\,\cancel{(n+1)}(-1+2)}=-2$$$$C=\frac{2}{(-2)(-2+1)\cancel{(n+2)}}=1$$Das führt auf die Summe:

$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^N a_n=\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^N\frac{2}{n+1}+\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}$$$$\phantom{S_N}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=3}^N\frac{1}{n}-\frac{2}{2}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{2}{n+1}+\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}$$$$\phantom{S_N}=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{N-2}\frac{1}{n+2}-\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{2}{n+2}+\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}$$$$\phantom{S_N}=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{N-2}\frac{1}{n+2}-\sum\limits_{n=1}^{N-2}\frac{2}{n+2}-\frac{2}{(N-1)+2}+\sum\limits_{n=1}^{N-2}\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(N-1)+2}+\frac{1}{N+2}$$$$\phantom{S_N}=\frac{1}{2}-\frac{2}{(N-1)+2}+\frac{1}{(N-1)+2}+\frac{1}{N+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}$$

Wegen der beiden Nullfolgen folgt sofort die Konvergenz der Reihe und der Grenzwert:$$S_\infty=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}$$

Comments

Hab die Aufgabe falsch abgeschrieben, es sollte auch von n=1 starten.