Jede Zahl 4m+3 mit m€N0 von Primzahl der Form 4n+3 mit n€N0 geteilt wird.

Question

Aufgabe: Zeigen, dass jede Zahl 4m+3 mit m€N0 von Primzahl der Form 4n+3 mit n€N0 geteilt wird.

Wie geht man sowas genau an.

Ich weiß, dass es für m=n gilt, aber wie beweis ich das jetzt?

Comments

2 ist kein Teiler, wenn es nur Teiler der Form 4i+1 hätte, dann wäre es auch von der Form 4i+1, ist es aber nicht, darum existiert eine Primzahl der Form ( 4n +3 ) die (4m+3) teilt.

Siehe auch meine Antwort

Answer 1

Indirekter Beweis (Idee nur grob skizziert): Angenommen, es gäbe ungerade Zahlen der Form 4m+3, die keinen Primfaktor der Form 4n+3 hätten. Dann hätten alle Primfaktoren die Form 4n+1 (lassen also bei Teilung durch 4 den Rest 1). Damit lässt auch das Produkt aller Primfaktoren der Form 4n+1 bei Teilung durch 4 den Rest 1 und NICHT den Rest 3.

Answer 2

Zeigen, dass jede Zahl 4m+3 mit m€N0 von Primzahl der Form 4n+3 mit n€N0 geteilt wird.

Erst einmal ausprobieren.

4*0+3=3 Primzahl

4*1+3=7 Primzahl

4*2+3=11 Primzahl

4*3+3=15 ist durch 3 teilbar.

Es geht weiter mit

19; 23; 27 → 3 ; 31; 35 → 7 ; 39 → 3

Ein weiteres Beispiel:

19|95 mit 19=4*4+3 und 95=23*4+3, also n=4 und m=23.

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Jetzt allgemein:

4m+3 ist immer eine ungerade Zahl.

Ungerade Zahlen haben entweder die Form 4k+1 oder 4k+3.

Wenn z=4m+3 keinen Primteiler der Form 4n+3 hätte, sähe die Primfaktorzerlegung bei zwei Faktoren so aus:

z=(4j+1)*(4k+1)=16jk+4j+4k+1=4*(4jk+j+k)+1.

Das widerspricht aber der Vorgabe z=4m+3.

Comments

Jo aberSoweit ich weiß geht das ja nur wenn man für M und N die Gleiche Zahl einsetzt.

Aber wie formuliert man das korrekt aus?

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Um eine Behauptung zu widerlegen, reicht ein Gegenbeispiel aus.

:-)

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4*1+3=7

4*2+3=11

4*3+3=15

Ich sehe da keine Teilbarkeit.

Ich schon. 7 hat den Teiler 7.

11 hat den Teiler 11.

15 hat den Teiler 3.

Die Zahlen 7, 11 und 15 besitzen also jeweils einen Primteiler der Form 4n+3

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Danke Abakus,

also müsste gezeigt werden, dass die Zahlen der Form 4m+3, die keine Primzahlen sind, einen Primteiler der Form 4n+3 haben.

Answer 3

Das ist einfach, denn so allgemein ist es falsch

$$m=n$$

$$(4m+3),/(4n+3)=(4n+3)/(4n+3)=1$$

Wenn n>m ist (4n+3) kein Teiler von (4m+3), doch auch wenn wir das ausschließen, dann ist 4*1+3=7 eine Primzahl, doch sie teilt nicht 4*2+3=11, sie teilt auch nicht 4*3+3=15

Dann würde ich es aber anders formulieren.
Für alle m ∈ℕ existiert n∈ℕ , so dass (4n+3) Primzahl und (4n+3)|(4m+3)
Beweis idee jede Zahl kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden .

Wenn eine Zahl die Form 4m+3 hat, dann ist 2 kein Teiler dieser Zahl. Es können aber auch nicht alle Primfaktoren die Form 4k+1 haben, denn dann hätte das Produkt auch die Form 4k+1 es muss also ein n existieren, so dass

(4n+3)|(4m+3)

Comments

Ja 4m+3 wird nur von 4n+3 geteilt wenn, man für m und n die gleiche Zahl einsetzt.

sobald m>n, dann ist die Aufgabe unmöglich.

Aber wie würde man das formrichtig Formulieren?

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Hallo Franz und Hogar,

so habe ich zuerst auch gedacht. Dank des Hinweises von abakus bin ich auf die richtige Idee gekommen.

:-)

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Ich habe meine Antwort erweitert .