für welche Werte konvergiert die Reihe \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^n}{1+a^{2n}}

Question

Die Frage lautet, für welche die Reihe $$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^n}{1+x^{2n}}$$ konvergiert

Ich hätte raus für alle x ∈ C stimmt das? (Einfach die '1 +...' im Nenner weglassen und dann nach Majoranten und Wurzelkriterium)

Danke für die Hilfe

Hubert

Answer 1

Hallo,

Ich hätte raus für alle x ∈ C stimmt das?

Nein das stimmt nicht, setzt doch mal x=1 ein, das konvergiert nicht.

Du könntest so abschätzen:

$$\frac{(2x)^n}{1+x^{2n}}<\frac{(2x)^n}{x^{2n}}=\frac{2^n}{x^{n}}=(\frac{2}{x})^n$$

(im Reellen, im Komplexen halt mit Betrag)

letzteres konvergiert für $$|x|>2$$