Ja das ist richtig, aber bischen unschön geschrieben. Die Quotientenfolge geht gegen unendlich. Demnach kann kein Grenzwert davon existieren der < 1 bzw. = 1 ist.
Nach dem Qiotientenkriterium ist die Reihe divergent.
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Alternativer Lösungsweg:
Man zeigt folgende Abschätzung (Den Induktionsanfang habe ich übersprungen, da der klar ist. Man nimmt ja dann für ein k an, das die Abschätzung gilt und zeigt es für k+1)
Text erkannt:
\( \begin{array}{c}\frac{10^{k}}{k!} \leqslant \frac{1000}{k} \quad \forall k \geqslant 10 \\ \text { Indukhionschritt: } \frac{10^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{10^{k}}{k!} \frac{10}{k+1} \leqslant \frac{1000}{k} \cdot \frac{10}{k+1}=\frac{1000}{k+1} \cdot \frac{10}{\frac{1}{k}} \leqslant \frac{1000}{k+1}\end{array} \)
Hier sieht man also, das die Kehrwert-Folge (10^k / k!) die Nullfolge 100/k als obere Schranke hat und daher selbst eine Nullfolge ist.
D.h. lim (10^k / k!) = 0.
Dann ist insbesondere die ursprüngliche Folge (k! / 10^k) bestimmt divergent und geht gegen unendlich, also lim (k! / 10^k) = inf. Da aber die Folge der Reihe somit bestimmt divergiert und keine Nullfolge ist, ist das notwendige Konvergenzkriterium verletzt und die Reihe ist divergent.