Konvergiert die Reihe \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{10^{k}}?

Question

Konvergiert diese Reihe? nach dem Quotientenkriterium.

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{10^{k}}=\left|\frac{(k+1)!}{10^{k+1}} \cdot \frac{10^{k}}{k!}\right|= & \frac{(k+1) 10^{k}}{10^{k+1}} \\ = & \frac{k+1}{10} \\ & =\frac{k}{10}+\frac{1}{10} \\ & >1 \text { Die Reihe divergiert }\end{aligned} \)

Stimmt das?

Comments

Stimmt das?

Kann sein, aber so darf man das sicher nicht aufschreiben!

Answer 1

Von der Idee her richtig, aber von voller Punktzahl ein Stück entfernt.

Das erste =-Zeichen ist falsch (das =-Zeichen ist keine Deko, sondern heißt, dass das zwei Dinge gleich sind.

\(\frac{k+1}{10}>1\) stimmt so nicht, weil nicht angegeben ist, für welche \(k\). Wenn nichts dabei steht, liest man es als "für alle \(k\)" und dann ist es falsch.

Es stimmt erst ab \(k=10\), solche Angaben gehören zwingend zur Lösung.

Comments

Müsste man ja eigentlich auch gar nicht berücksichtigen. Das die Folge bestimmt gegen unendlich divergiert, ist ja klar.

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Klar ist die Aufgabe bzw. Lösung von Anfang an. Es geht beim Lösen von Aufgaben darum, den Gedankengang logisch sauber und vollständig zu formulieren. Dass die Quotientenfolge gegen unendlich läuft, steht nicht in der Lösung.

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Ja aber das sieht man ja dann spätestens wenn man es ausgerechnet hat.

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Es geht nicht darum, was "man" sieht, sondern eine Lösung zu formulieren. Dann kann ich gleich als Lösung "nach QK divergent, sieht man ja" notieren.

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Du hast mich falsch verstanden. Ich rede davon, das es ja klar ist das die Quotientenfolge bestimmt gegen unendlich divergiert. Da ist es also nicht erforderlich nochmal irgendwelche Abschätzungen zu machen.

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Die Ausführungen des FS sind gerade ein Paradebeispiel dafür, dass der gesamte Formalismus nicht verinnerlicht ist. Das führt immer wieder zu unnötigen Schwierigkeiten. Mal abgesehen davon, dass man damit im Ernstfall (Klausur) viele Punkte verschenkt.

Ich weiß nicht, wie streng die Übungen heutzutage noch korrigiert werden (vieles ist ja leider auch schon digital), aber zu meiner Zeit waren die Korrektoren im ersten Semester sehr pingelig und haben für Formfehler gnadenlos Punkte abgezogen.

Was viele auch vergessen: Erfahrene Leute sehen viele Dinge, die Anfänger nicht sehen. Eine Argumentation a la "das sieht man ja", ist also nicht zielführend.

Wir haben uns damals immer Späße daraus gemacht, wenn die Profs mal wieder meinten "das ist trivial". Das war dann unsere Floskel, die wir dann für alles benutzt haben. Ironisch natürlich.

Da ist es also nicht erforderlich nochmal irgendwelche Abschätzungen zu machen.

Da hast du nudger aber falsch verstanden. Es geht nicht um irgendwelche Abschätzungen, sondern um den Zusatz, dass der Ausdruck \(>1\) ist für \(k\to \infty\). Letzteres fehlt.

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Das ,,man sieht es ja‘‘ bezog sich darauf, das wenn man die Folge berechnet, das man dann sieht, das sie divergiert. Oder muss man wirklich noch zeigen, das die Folge (k+1)/10 gehen unendlich geht.

Ja in dem Falle hat @Nudger auch Recht. Wenn man eine Abschätzung angeben möchte, dann natürlich auch vollständig. Jedoch meinte ich nur, das man das in dem Falle von Anfang an nicht bräuchte, da die bestimmte Divergenz der Folgw nach unendlich es schon zeigt.

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\(\frac{k}{10}+\frac{1}{10}>1\) ist falsch.

\(\frac{k}{10}+\frac{1}{10}>1\) für \(k\to \infty\) ist richtig. Besser sogar für \(k>10\).

da die bestimmte Divergenz der Folgw nach unendlich es schon zeigt.

Was dann aber auch anzugeben ist. Und das hat der FS wo geschrieben?

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Ja stimmt, ich sagte ja auch das @Nudger da Recht hat.

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Ich habe es nochmal besser aufgeschrieben:

Konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{10^{k}} \)
\( \begin{aligned} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| & =\left|\frac{(k+1)!}{10^{k+1}} \cdot \frac{10^{k}}{k!}\right|=\left|\frac{k+1}{10^{k+1}} \cdot \frac{10^{k}}{1}\right|=\left|\frac{k+1}{10}\right| \\ & =\left|\frac{k}{10}+\frac{1}{10}\right| \end{aligned} \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{k}{10}+\frac{1}{10}\right| \)
Für \( k<9 \) konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium, da \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|<1 \).
Für \( k=9 \) kann man keine Aussage treffen.
Für \( K>9 \) divergiert die Reihe nach dem Quotientenkriteriun, da \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|>1 \).

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Besser, aber noch nicht akzeptabel.

Erstes = ist falsch: Entscheide Dich für k oder n. Achte auf jedes Zeichen.

\(\lim =\lim\): das gleiche.

Danach: Beachte, beim limes geht es nicht einzelne k, sondern um das Verhalten gegen \(\infty\).

Richtig ist (schreib es wörtlich und sorgfältig ab) am Ende:

\(\lim \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim \frac{k+1}{10}=\infty\), also divergiert die Reihe nach QK.

Answer 2

Ja das ist richtig, aber bischen unschön geschrieben. Die Quotientenfolge geht gegen unendlich. Demnach kann kein Grenzwert davon existieren der < 1 bzw. = 1 ist.

Nach dem Qiotientenkriterium ist die Reihe divergent.

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Alternativer Lösungsweg:

Man zeigt folgende Abschätzung (Den Induktionsanfang habe ich übersprungen, da der klar ist. Man nimmt ja dann für ein k an, das die Abschätzung gilt und zeigt es für k+1)

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}\frac{10^{k}}{k!} \leqslant \frac{1000}{k} \quad \forall k \geqslant 10 \\ \text { Indukhionschritt: } \frac{10^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{10^{k}}{k!} \frac{10}{k+1} \leqslant \frac{1000}{k} \cdot \frac{10}{k+1}=\frac{1000}{k+1} \cdot \frac{10}{\frac{1}{k}} \leqslant \frac{1000}{k+1}\end{array} \)

Hier sieht man also, das die Kehrwert-Folge (10^k / k!) die Nullfolge 100/k als obere Schranke hat und daher selbst eine Nullfolge ist.

D.h. lim (10^k / k!) = 0.

Dann ist insbesondere die ursprüngliche Folge (k! / 10^k) bestimmt divergent und geht gegen unendlich, also lim (k! / 10^k) = inf. Da aber die Folge der Reihe somit bestimmt divergiert und keine Nullfolge ist, ist das notwendige Konvergenzkriterium verletzt und die Reihe ist divergent.

Comments

…das für alle k die Abschätzung k! < 10^k gilt (Kann man durch Induktion zeigen)

Wie macht man das genau?

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Das war falsch. Habe es gelöscht. Das ganze gilt umgekehrt, natürlich erst ab einem bestimmten k.

Answer 3

Es geht hier auch geschickter ohne Quotientenkriterium.

Damit die Reihe Σ (k = 1 bis ∞) a(k) überhaupt konvergieren kann, muss die Bildungsvorschrift a(k) eine Nullfolge sein.

Kannst du erkennen, dass a(k) = k!/10^k keine Nullfolge ist, weil die Fakultät wesentlich schneller wächst als die Exponentialfunktion, wenn k gegen Unendlich strebt?

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Beim Quotientenkriterium geht es um

lim (k → ∞) | a(k+1) / a(k) |
lim (k → ∞) | (k + 1)!/(10^(k + 1)) / (k!/(10^k)) |
lim (k → ∞) | (k + 1) / 10| = ∞

Der Ausdruck geht gegen Unendlich und ist damit sicher größer als 1 und damit ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium divergent.