Konvergiert \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{4k^2 -1}?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die untenstehenden Reihen auf (absolute) Konvergenz und berechnen
Sie gegebenfalls ihre Grenzwerte.

i) $$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{4k^2 -1}$$

Problem/Ansatz:

Das erste Kriterium, das mir hier eingefallen ist, ist das Quotientenkriterium. hab dann herausgefunden, dass \(\bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\bigr|\) gegen 1 konvergiert und wir somit keine Aussage treffen können. Gibts da einen weiteren Schritt, den wir nehmen können?

Comments

Beweise vielleicht zuerst dass ∑ 1/n^2 konvergiert. Oder evtl habt ihr das auch schon gezeigt?

Dann nutze das Majorantenkriterium.

Es ist 1/(4k^2-1) < 1/(3k^2)

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Wie kann man das zeigen, dass ∑ 1/n² konvergiert? Habs gerade versucht, aber ich hab nichts Gutes herausbekommen..

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten zunächst eine endliche obere Grenze \(N\):$$S_N=\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{4k^2-1}=\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{\pink2}{(2k-1)(2k+1)}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{\pink{(2k+1)-(2k-1)}}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\sum\limits_{k=2}^N\left(\frac{\green{(2k+1)}}{(2k-1)\green{(2k+1)}}-\frac{\blue{(2k-1)}}{\blue{(2k-1)}(2k+1)}\right)$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{k=2}^N\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{2k-1}-\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{2k+1}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\sum\limits_{k=2\pink{-1}}^{N\pink{-1}}\frac{1}{2(k\pink{+1})-1}-\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{2k+1}=\frac12\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{1}{2k+1}-\frac12\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{2k+1}$$$$\phantom{S_N}=\frac12\left(\frac{1}{2\cdot1+1}+\pink{\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac{1}{2k+1}}\right)\pink-\frac12\left(\pink{\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac{1}{2n+1}}+\frac{1}{2N+1}\right)$$$$\phantom{S_N}=\frac12\cdot\frac13-\frac{1}{2(2N+1)}=\frac{1}{6}-\frac{1}{4N+2}$$Nun bilden wir den Grenzwert, wodurch der zweite Term verschwindet:$$S_\infty=\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{1}{4k^2-1}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{4N+2}\right)=\frac{1}{6}$$

Comments

Ah, mit einer oberen Grenze! Interessant... das hab ich bisher nur mit Teleskop-Reihen gesehen. Ist das ein bestimmtes Kriterium oder bist Du aus Gefühl her draufgekommen (oder vielleicht ein anderer Grund)?

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Es fällt sofort auf, dass der Nenner mit Hilfe der 3-ten binomsichen Formel iin ein Produkt zerfällt. Mit einer "Partialbruchzerlegung" erhalten wir dann 2 Terme, die man durch eine Indexverschiebung ineinander überführen kann. Der Rest ist nur "rechnen".

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Aber wie bist du auf die Idee mit der festen oberen Grenze gekommen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden

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Du schmückst mich mit fremden Federn. Das ist nicht "meine" Idee, sondern ein gängiges Verfahren bei unendlichen Reihen. Bei unendlichen Summen muss man mit mathematischen Umformungen vorsichtig sein, wenn man den Konvergenzbereich verlässt. Da ich vorher nicht geprüft habe, ob die Reihe konvergiert, setze ich zunächst eine endliche obere Grenze. Dadurch kann ich alle Rechengesetze für Summen anwenden.