Konvergiert \sum{n=1}{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{3n+1}} ?

Question

Aufgabe:

Konvergiert \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{3n+1}} \)?

Problem/Ansatz:

Also, ich denke, dass die Reihe konvergiert. Ich verwende das Leibnizkriterium und muss nur zeigen, dass \( \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \) monoton fallend ist und dass der Grenzwert 0 beträgt. Man sieht, dass die zwei Eigeschaften erfüllt sind, aber wie würde ich die Wurzel umformen, sodass es sogar noch deutlicher wird?

Answer 1

Was soll denn deutlicher werden, die Monotonie ?

Dazu musst du nur zeigen, dass die Differenz eines

Folgengliedes mit seinem Nachfolger immer positiv ist.

Comments

Ich bin mir nicht sicher, ob von mir noch eine Umformung erwartet wird. Würde es deiner Meinung reichen, wenn ich nichts weiter umforme und nur schreibe, dass die Reihe konvergiert aus den genannten Gründen? Ich meine, man kann's einfach ablesen, dass jeder Nachfolger kleiner ist. Muss man das explizit nochmal zeigen deiner Meinung nach?

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Die Monotonie würde ich schon begründen,

etwa so : Zu zeigen ist

             1 / √(3n+1)  >   1/√(3(n+1)+1)

<=>          1 / √(3n+1)  >      1 / √(3n+4)

<=>          √(3n+1)  <       √(3n+4) 

und das ist wegen der Monotonie der √ und

wegen 3n+1 < 3n+4  erfüllt.

Grenzwert 0 braucht man wohl nur zu nennen.

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Vielen Dank, dann werde ich wohl stets explizit zeigen, dass die Folge monoton ist!