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Konvergiert diese Reihe? Ich habe es mit dem Quotientenkriterium gelöst.

\( \begin{array}{l}\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{3^{k}-1}\left|\frac{\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-1}}{\frac{2^{k}}{3^{k}-1}}\right|= \\ \begin{aligned}\left|\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-1} \cdot \frac{3^{k}-1}{2^{k}}\right| & =\frac{2}{3^{k+1}-1} \cdot \frac{3^{k}-1}{1} \\ & \left.=\frac{6^{k}-2}{3^{k+1}-1} \right\rvert\, \cdot \frac{1}{2} \\ & =\frac{6^{k}-2}{6^{k+1}-2}=\frac{1-2}{6-2}=\frac{-1}{4}\end{aligned}\end{array} \)

Die Reihe konvergiert also weil -1/4 < 1

Ist mein Ergebnis richtig?

Avatar von

$$2\cdot\left(3^k-1\right)\ne 6^k-2$$ Dieser Schritt ist also schon mal falsch.

Und auch der vorletzte Schritt ist falsch: Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Die Begründung am Ende stimmt auch nicht. Käme \(-3<1\) heraus, würde die Reihe bestimmt nicht konvergieren.

Auch das Gesamtgefüge ist nicht richtig, denn die eigentliche Hauptrechnung (Bestimmung der Konvergenz) und die gewählte Nebenrechnung (Quotientenkriterium) sind nicht so voneinander getrennt, wie das sinnvoll wäre.

Zumindest steht hier zwischen der Summe und dem Betrag kein Gleichheitszeichen, wie es in der anderen Frage ist. ;)

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Hallo.

Gegeben ist die Reihe zu der Folge

2^k / (3^k -1).

Bis zu dem dritten Ausdruck ist alles richtig. Ab da hast du dich verrechnet (2*3^k ≠ 6^k !). Versuch es da gerne mal alleine nochmal.


Hier eine Lösung von mir zum Vergleich:

Ich habe mal ab dem Punkt weiter gemacht:

2(3^k -1) / [ 3^(k+1) -1 ]

= [ 2*3^k - 2 ] / [ 3^(k+1) -1]

Jetzt klammern wir 3^(k+1) aus Zähler und Nenner raus und erhalten:

[ 2/3 - 2/3^(k+1) ] / [1 - 1/3^(k+1)]

Da 2/3^(k+1) und 1/3^(k+1) beide Nullfolgen sind, verschwinden diese für k —> unendlich. Demnach ist der Grenzwert (2/3)/1 = 2/3 < 1. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe absolut.

——

Ansonsten war dein Start aber richtig :)

Avatar von 1,6 k

Nein, ist es nicht. Weil schon das erste =-Zeichen falsch ist.

Nochmal die an anderer Stelle gestellte Frage an Dich:
Mal ehrlich, wenn Du siehst "versuch es mit dem Tipp mal selbst, hier ist die Lösung", legst Du dann diese Lösung ungelesen zur Seite und schaust nicht rein, bevor Du eine eigene Lösung hast?

Was soll daran falsch sein?

Ich habe es nochmal nachgerechnet. Das muss passen.


Übrigens habe ich ja die Lösung nicht als erstes hochgeladen, sondern habe davor noch geschrieben, das er es selber versuchen sollte und danach zum Vergleich drauf schauen soll.

Da steht eine Reihe mit einem komplizierten Faktor, diese Reihe soll = ... sein.

Die Frage war an Dich gestellt, hast Du noch nicht beantwortet.

@nudger: Lass gut sein. Die Kritik bezüglich Musterlösungen kommt offensichtlich nicht an. Es gibt hier eben Leute, die das vehement verteidigen und aus meiner Sicht ohne wirklich schlagkräftige Argumente.

@Nudger

Verstehe jetzt was Du meinst. Das war wohl vom Fragesteller ein technischer Fehler. Ich merke schon, das es seperat dazu stehen sollte.

@am Hast schon recht. Hatte die Hoffnung, dass neue Helfer wie Txman noch ansprechbar sind. Schade.

Ungefragte Musterlösungen sind aber im Sinne des Forums, dann wird halt weiter das gleiche mit anderen Zahlen gefragt (z.B. zig mal Steckbriefaufgabe) der Betreiber kann seine KI füttern, die "Helfer" Punkte sammeln. Und das Forum bleibt schön aktiv. Traurig.

@Txman Ja, das sollte separat stehen. In anderen Fragen hat derselbe FS aber direkt mit = hinter der Reihe weitergerechnet. Daher finde ich wichtig, das auch hier anzumerken.

@Nudger Das stimmt. Ich war da auch ein wenig verwirrt.

Zu dem Thema von Musterlösungen

@Nudger , @Apfelmännchen

Ich verstehe nicht, warum es falsch sein sollte, eine Lösung zum Vergleich hochzuladen.

Erstens. Ich lade ja nicht einfach eine Lösung hoch. Ich erkläre da ja auch wirklich jeden Schritt, sodass der Leser es von A bis Z nachvollziehen kann und daraus lernt.

Zweitens. Ich schreibe ja jetzt neuerdings noch absichtlich davor, das der FS es erstmal selbst versuchen und die Lösung wirklich nur als Vergleich nutzen sollte. Wenn die Person es nicht macht, dann heisst es Sie ist nicht interessiert daran es selbst zu versuchen.

Nochmal, es war eine Frage an Dich persönlich. Aber ok, musst Du nicht beantworten.

Eine Lösung zum Vergleich kann sinnvoll sein, wenn FS eine Lösung hat. Wenn er keine hat, eben nicht. Wenn FS seine Lösung vorgelegt hat, und Du danach(!) eine hochlädst, hat keiner was dagegen. (Ob es sinnvoll ist, ist eine andere Frage, weil es suggeriert, dass die Lösung so aussehen muss, was aber in den seltensten Fällen zutrifft).

Du möchtest also jemandem eine Lösung zum Abschreiben liefern, der selbst keine erarbeiten will. Wozu? Wir meinen eben, damit hilfst Du keinem. FS ist in vielen Fällen dankbar, weil er glaubt, das Lesen von Lösungen bringt den Lernerfolg. Das Gegenteil ist der Fall - denn FS hat ja schon Lösungen in der Vorlesung gesehen, auch oft im Internet und in Videos.

Haben wir hier schon zig mal erklärt. Du findest diese Diskussion hier immer wieder.

Also, Frage an Dich (s.o.): wozu?

Es ist die Frage: Lernt man Mathe als Zuschauer oder als durch aktives Mitmachen? Siehe den von abakus geposteten Spruch.

Ich verstehe jetzt was Du und @Apfelmännchen meint. Ich bin ja noch neu und muss noch paar Erfahrungen   sammeln. Ich versuche ab jetzt darauf zu achten.

Zu der Frage: Ich würde tatsächlich nicht drauf schauen, sogar wenn das unglaubwürdig klingt. Aber natürlich kann soetwas ja auch ohne Absicht mal passieren.

Nein, das klingt nicht unglaubwürdig (beurteile ich aufgrund Deiner eigenen Fragen und wie Du an einer Lösung mitgearbeitet hast). Ich meine aber, Du bist auch nicht der typische FS hier im Forum (wir freuen uns über solche Ausnahmen).

Fun fact: Ich kenne einen Hiwi, der hat in seiner Ü-Gruppe erst die Hausaufgaben vorgerechnet, und direkt danach durften die Studis diese abgeben (vorgesehen war es natürlich umgekehrt). Seine Begründung: dieses Vorgehen würde die ihm obliegende Korrektur der Hausaufgaben enorm erleichtern...

Es mag bei wirklich seltenen Einzelfällen zutreffen, dass man sich die Lösung nicht anschaut, aber diese Leute sind dann in der Regel sowieso schon "fitter" als diejenigen, die nicht einmal die Grundlagen der Bruchrechnung beherrschen.

Du studierst doch selbst noch. Ich weiß nicht, wie intensiv der Kontakt mit deinen Kommilitonen ist, aber bereits da sollte schon auffallen, dass diejenigen, die sich regelmäßig selbst mit den Aufgaben beschäftigen, die besseren Klausuren schreiben. Da könnte man sicherlich eine Studie zu machen, die das noch wissenschaftlich belegt.

Es ist so ungemein wichtig, dass man sich mit der Mathematik selbstständig auseinandersetzt und dazu gehört eben eigenständiges Rechnen, Ausprobieren, Irrwege laufen etc. Nur dadurch kann ein Gefühl für die Dinge entwickeln, was funktioniert und was nicht, vor allem im Studium, wenn es darum geht, Ausdrücke abzuschätzen, Grenzwerte zu berechnen und so weiter. In der Schule mag man vielleicht noch "auf Rezept" lernen können und damit durchs Abi kommen, aber an der Uni ist das definitiv vorbei.

Und ich finde, wir sollten diesen Leuten durch Musterlösungen eben nicht die Chance nehmen, entsprechenden Tipps und Hinweisen unsererseits nachzugehen und selbst Lösungsstrategien zu entwickeln. Man kann doch bereits hier im Forum feststellen, dass jeder Helfer für sich zu bestimmten Problemstellungen eine andere Vorgehensweise bevorzugt. Und das, was einem eben am meisten liegt, muss jeder für sich noch herausfinden und entwickeln. Diese Fähigkeit wird durch vorgegebene Musterlösungen aber einfach genommen.

Ja, Musterlösungen können eine Hilfe sein, aber durch das Lesen und Verstehen solcher lernt man keine Mathematik. Wie @nudger schon sagte, gibt es überall unzählige Beispiele mit anderen Zahlen, Funktionen, etc. Die Leute schaffen es dennoch nicht, das angeblich "gelernte" auf ihr Problem anzuwenden. Jetzt darf sich jeder einmal fragen, warum das so ist.

Ich kann vielleicht auf dem Klavier "Alle meine Entchen" spielen, weil mir jemand gezeigt hat, welche Tasten ich drücken muss. Deswegen kann ich aber noch lange nicht "Alle Vögel sind schon da" spielen, weil ich einfach die grundlegende Technik des Klavierspiels gar nicht beherrsche. Das lässt sich genau so auf die Mathematik übertragen. Nur weil ich Rechnungen und Umformungen nachvollziehen kann, wenn ich sie lese, bin ich noch lange nicht in der Lage, selbst auf derartige Rechnungen zu kommen. Und genau dieses Problem wird vielen zum Verhängnis und lässt sich auch immer wieder hier im Forum beobachten.

Des Weiteren kann ich aus meiner Arbeit mit vielen verschiedenen Schülern noch die Erfahrung mitbringen, dass diejenigen, die sich zwischendurch noch selbstständig mit Aufgaben beschäftigen, sich wesentlich mehr verbessern als diejenigen, die sich nur in den Terminen mit mir mit der Mathematik beschäftigen. Dort sind nur selten Verbesserungen zu beobachten. Immerhin bleiben die Leistungen mehr oder weniger konstant.

Und jetzt stell dir einmal selbst die Frage, mit welcher Methode du Mathematik besser verstehst. Wenn du hier Fragen gestellt hast, hast du bereits immer deine Lösung mitgeliefert. Das hatte den Vorteil, dass man dich direkt auf DEINE Probleme und DEINE Schwierigkeiten hinweisen konnte. Hätte dir jetzt irgendjemand eine andere Lösung vorgesetzt, hättest du zu DEINER Lösung nach wie vor kein Feedback und wüsstest nicht, ob deine Gedanken richtig sind oder nicht.

Und ich betone das hier nochmal: Eine Kontrolllösung ist keine Musterlösung! Ein Ergebnis zur Kontrolle ist sicherlich hilfreich, ersetzt aber auch nicht die Auseinandersetzung mit der Aufgabe, wohingegen eine Musterlösung so verlockend ist, sich gar nicht mehr mit der Aufgabe auseinanderzusetzen.

Fun fact: Ich kenne einen Hiwi, der hat in seiner Ü-Gruppe erst die Hausaufgaben vorgerechnet, und direkt danach durften die Studis diese abgeben (vorgesehen war es natürlich umgekehrt). Seine Begründung: dieses Vorgehen würde die ihm obliegende Korrektur der Hausaufgaben enorm erleichtern...

Ich hoffe, er war danach nie wieder als HiWi tätig.

@Nudger Ich danke Dir für die netten Worte! Das freut mich.


Ich meine die Studis aus der Gruppe waren dann auch nicht die Nummer 1 im nachhinein :D

Kann ich alles nur so unterschreiben.

Ich kann den Worten von nudger nur zustimmen. Wir sind immer froh, wenn FS ihre Rechnungen und/oder Lösungen direkt mitliefern. Das erleichtert uns nämlich die Arbeit, erst einmal eine Weile im Dunkel zu stochern. Und wozu soll ich eine gesamte Aufgabe vorrechnen, wenn der FS nur einen dummen Vorzeichenfehler gemacht hat? Auch da ist eine Musterlösung nicht wirklich förderlich. Der Verweis auf den gemachten Fehler ist viel zielführender, denn man kann sehr effektiv aus Fehlern lernen. Aber auch das möchten einige ja nicht einsehen.

@Apfelmännchen

Da gebe ich Dir Recht. Soweit hatte ich nicht gedacht. Ich dachte ich tue eventuell den Leuten einen Gefallen, wenn ich ihnen eine Müsterlösung mitgebe, wo sie ihr gemachtes vergleichen können. Jetzt verstehe ich aber was Ihr meint und kann es nachvollziehen.

Eigentlich bin ich selber kein Fan von Musterlösugen. Ich kann mich erinnern wie diese mich zu Beginn immer demotiviert haben, da es immer anders war als die eigene Lösung. In dem Falle waren meine Lösungen nicht einmal falsch, jedoch dachte man es eben.

Danke für die offenen Worte im letzten Abschnitt, Txman. Genau das Risiko besteht eben - und der nicht-so-reflektierte Studi denkt er ist zu dumm, Mathe kann er eben nicht, macht sowieso keinen Spaß usw.

Siehst du. Das ist auch ein guter Punkt. In der Mathematik gibt es nicht DIE perfekte Musterlösung. Wie nudger schon sagte, eine Musterlösung kann hilfreich sein, wenn die Leute ihre eigene Lösung auch mitgeliefert haben. Wenn jemand eine Lösung hat, kann er diese auch mitteilen. Du glaubst aber doch nicht im Ernst, dass die meisten, die hier nach einer Aufgabe fragen, auch eine Lösung dazu haben.

Bei Nick zum Beispiel ist es jetzt so, dass er seine Ansätze und Ideen liefert (was schonmal positiv anzumerken ist), aber er immer wieder und teils die gleichen Fehler macht. Vom schlechten Formalismus, der jetzt noch dazukommt, mal abgesehen.

Was bringt ihm jetzt also eine Musterlösung, die möglicherweise völlig anders ist, wenn ihn aber niemand auf seine gemachten Fehler und damit seine Schwächen hinweist? Erdenklich wenig meiner Meinung nach. Daher habe ich auch wirklich kein Verständnis dafür, dass man den Leuten auch dann lieber eine Musterlösung hinknallt anstatt sie auf ihre Fehler aufmerksam zu machen und genau dort anzusetzen.

Es freut mich, dass du unsere Sicht mittlerweile nachvollziehen kannst. :)

Was ist denn das onben?

@Apfelmännchen, @nudger

Das stimmt. Mathematik kann man nur mit permanenten Üben selber lernen.

Da zerstören irgendwelche Musterlösungen i.A. nur den eigenen Fortschritt.

Ich danke euch beiden! :)

@maxi406 Hast Du Dich irgendwie verklickt?

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