Reihe auf Konvergenz untersuchen und Summe der Reihe bestimmen

Question

Ich übe für eine Klausur und bei den Reihen hapert es leider noch.

Bei a) hatte ich den Ansatz, dass ich wegen des (-1)^k in dem Term das Leibnizkriterium anwenden wollen würde. Dann müsste ich als erstes ja testen ob der Grenzwert gegen 0 geht.

lim k→∞ |(1/2^k)+(-1)^k*(1/3^k))| = 0+1*0

Kann ich an dieser Stelle annehmen das (-1)^k wegen des Betrags positiv ist? Wäre der Term nur (-1)^k *(1/3^k) wäre das ja logisch aber so... (wobei es ja nicht wirklich einen Unterschied machen würde da *0)

Dann würde ich testen ob die Koeffizienten monoton fallen:

|a_k+1| ≤ |a_k| = |(1/2^k+1)+(1/3^k+1)| ≤ |(1/2^k)+(1/3^k)|

ich finde es ist jetzt schon offensichtlich, dass die Koeffizienten kleiner werden, aber wie genau müsste ich das noch weiter beweisen?

Würde es reichen zu sagen, dass:

|1/2^k+1| ≤ |1/2^k| und |1/3^k+1| ≤ |1/3^k| und deswegen |(1/2^k+1)+(1/3^k+1)| ≤ |(1/2^k)+(1/3^k)| ??

Wäre das ein gültiger Beweis? Und wie würde ich die Summe bestimmen?

Zu b)

Was für ein Kriterium bietet sich hier an? Ich hätte an Majorantenkriterium gedacht.

Z.b  (1/√k) - (1/√k+1) ≤ (1/√k) - (1/√k+2) und dann weiter umformen, bis ich eine Majorante erhalten würde?

Bei c) komm ich über das Quotientenkriterum auf den Grenzwert 1/12 = lim a_n , aber auch hier haperts am berechnen der Summe.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Tipp zu (b): Betrachte die Folge der \(N\)-ten Partialsummen und stelle fest, dass eine Teleskopsumme vorliegt.

Answer 1

Es handelt sich um eine Teleskopsumme (b) und geometrische Reihen (a,c). Das heißt du kannst jeweils den Wert berechnen.

Comments

Bei b hat das berechnen geklappt.

Bei a und c bin ich aber noch etwas hilflos mit der Summenformel bzw. dem q.

Die Summenformel ist ja ( 1-qⁿ⁺¹)/ (1-q).

Soweit ich weiß ist q = a_k+1/a_k

Ist das richtig?

Dann wäre bei c mein q = 1/4.

Müsste ich für qⁿ⁺¹ dann nochmal neu q berechnen? Also quasi in diesem Fall q = a_(k+1)+1/a_k+1 ?

Was ja irgendwie keinen Sinn macht, weil dann ja wieder 1/4 raus käme.

Oder wie muss ich was einsetzen um ein Ergebnis ausrechnen zu können?