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Ich würde gerne wissen, ob ich hier richtig vorgehe:
Edit gemäß Kommentar:
$$ \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{1}{2n+3}} $$
Ich sehe die alternierende (-1)n vor einem anderen Term, gehe also davon aus, dass hier das Leibniz-Kriterium angebracht ist.
Zuerst an bestimmen, dass ist: $$ \frac{1}{2n+3} $$
Wie zeige ich dass es sich um eine Nullfolge handelt? Ich würde argumentieren, da der Zähler konstant (gleich 1) ist und der Nenner von n abhängt, wird der Nenner abhängig von n größer, während der Zähler konstant bleibt, ergo der Bruch immer kleiner und sich 0 annähert, daraus folgt eine Nullfolge.
Monotonie (fallend) zeigen fällt mir etwas schwerer.
Zu zeigen: an+1 größer als an.
Sporadisch würde ich eine Seite auf 0 setzen wollen, damit sollte es wohl am deutlichsten sein:
1 / (2n+4) >= 1 / (2n+3) | 1 / (2n+4) abziehen
0 >= (1 / (2n+3)) - (1 / (2n+4))
Auf der rechten Seite sehen wir, dass der Subtrahend größer ist als der Minuend, ergo ist das Ergebnis negativ und somit echt kleiner 0. Das bedeutet, an+1 ist echt kleiner als an, daraus folgt, an ist streng fallend monoton.
Da an streng fallend monoton und eine Nullfolge ist, folgt mit dem Leibnizkriterium, dass die alternierende Reihe konvergiert.
Mit dem Quotientenkriterium könnte es auch gehen?
Gerade n:
|(1 / (2n+4)) / (1 / (2n+3))| ist kleiner als 1, ergo konvergiert diese Partialsumme.
Ungerade n:
|(-1 / (2n+4)) / (-1 / (2n+3))| ist auch kleiner als 1, ergo konvergiert diese Partialsumme auch.
Damit konvergiert diese Reihe auch mit dem Quotientenkriterium.
Und was ist, wenn ich nun die Summe der Reihe zeigen möchte? Bei Reihen mit einer n-ten Potenz würde ich Wurzelkriterium anwenden und dann kann die Summe ja direkt mitberechnet werden.
