Guten Tag MatheLounge Community,
zurzeit versuche ich die Reihe $$ \sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} )$$ auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen.
Ich habe überlegt, dass Leibnizkriterium zu verwenden.
Demnach muss a_n eine Nullfolge sein sowie monoton fallen, damit sie konvergiert.
Mein Rechenweg:
$$ \underline{1.Nullfolge} $$
$$ Sei \, a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$
$$ zu \, zeigen: a_n \, ist \, eine \, Nullfolge:$$
$$ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} $$
$$ \iff \frac{1}{n}+(\frac{1}{n}*\frac{1}{n}) $$
$$Da \, \frac{1}{n} \, gegen \, 0 \, konvergiert \, \Rightarrow lim \, a_n=0 $$
Somit ist a_n eine Nullfolge.
$$\underline{2.a_n \, ist \, monoton \, fallend:} $$
$$a_n \geq a_n+1 $$
$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \geq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} \, \, | *n^2 $$
$$n+1 \geq \frac{n^2}{(n+1)^2} \, \, | -n $$
$$1 \geq n+\frac{n^2}{(n+1)^2} $$
$$\Rightarrow \frac{n^2}{(n+1)^2} \leq 1 $$
$$ \Rightarrow Somit \, ist \, meine \, Reihe \, konvergent \, für \, alle \, n \in \mathbb{R}$$
$$■$$
Ist mein Ergebnis richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?
BlackFrost
EDIT(Lu) Fehlende Klammer inzwischen ergänzt.
