Konvergenz/Divergenz der Reihe: Summe ((-1)n* 1/n + 1/n²)?

Question

Guten Tag MatheLounge Community,

zurzeit versuche ich die Reihe $$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} )$$ auf Konvergenz bzw. Divergenz zu untersuchen.
Ich habe überlegt, dass Leibnizkriterium zu verwenden.

Demnach muss a_n eine Nullfolge sein sowie monoton fallen, damit sie konvergiert.

Mein Rechenweg:

$$\underline{1.Nullfolge}$$

$$Sei \, a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$
$$zu \, zeigen: a_n \, ist \, eine \, Nullfolge:$$
$$a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$
$$\iff \frac{1}{n}+(\frac{1}{n}*\frac{1}{n})$$

$$Da \, \frac{1}{n} \, gegen \, 0 \, konvergiert \, \Rightarrow lim \, a_n=0$$
Somit ist a_n eine Nullfolge.

$$\underline{2.a_n \, ist \, monoton \, fallend:}$$

$$a_n \geq a_n+1$$
$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \geq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2} \, \, | *n^2$$
$$n+1 \geq \frac{n^2}{(n+1)^2} \, \, | -n$$
$$1 \geq n+\frac{n^2}{(n+1)^2}$$

$$\Rightarrow \frac{n^2}{(n+1)^2} \leq 1$$

$$\Rightarrow Somit \, ist \, meine \, Reihe \, konvergent \, für \, alle \, n \in \mathbb{R}$$
$$■$$

Ist mein Ergebnis richtig oder habe ich einen Fehler gemacht?

BlackFrost

EDIT(Lu) Fehlende Klammer inzwischen ergänzt.

Comments

mmmh deine Reihe lautet 

$$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$$

Da fehlen irgendwo Klammern,du hast für den Fall

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})$$
gerechnet. Für diese Reihe stimmen deine Betrachtungen.

---

Vielen Dank für die Rückmeldung.

Mein Fehler, hier die korrigierte Reihe:

$$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})$$

Ist mein Ergebnis für diese Reihe richtig? 

Answer 1

In diesem Falle zerlegst du die Reihe in zwei Stück, da das (-1)ⁿ nur vor einem Summanden steht:

$$\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^n \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})\\=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

Die Reihe über 1/n² konvergiert, ebenso konvergiert die alternierende harmonische Reihe (Begründung über das Leibnitzkriterium, da 1/n eine monotone Nullfolge ist). Also konvergiert auch deine Ausgangsreihe.

Comments

Ich bedanke mich!
Ihre Lösung ist elegant :)

BlackFrost