Reihe auf Konvergenz/ divergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k^{3}}{\left(k^{2}+1\right)^{4 / 3}} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bitte einen Tipp geben, mit welchen Verfahren man am einfachsten diese Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen kann. Habe mal mit paar verfahren versucht, doch blieb dann immer irgendwo stecken, weil es nicht mehr weiter ging.

Es würde ausreichen, wenn mir jemand sagen könnte, welches Verfahren funktionieren würde. Es zu beweisen würde ich dann selber versuchen. (Falls jemand direkt mitschreiben könnte, ob die konvergiert oder divergiert, würde ich mich sehr freuen, dann habe ich auch eine Kontrolle parat).

Danke im Voraus

Comments

k^3 wächst schneller als (k^2+1)^(4/3)

Wenn man 1 vernachlässigt, erhält man k^(5/3), was > 1 ist.

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erhält man k^(5/3)

durch Anwendung welcher Rechenoperation ?

Answer 1

@ Tommy: Ich weiß nicht, ob Du aus den Kommentaren schon das Nötige entnommen hast, hier nochmal

$$\frac{k^3}{(k^2+1)^{4/3}}=\frac{k^3}{(k^2(1+1/k^2))^{4/3}}=\frac{k^3}{k^{8/3}} \frac{1}{(1+1/k^2)^{4/3}} \geq \frac{k^{1/3}}{2^{4/3}}$$

Also gehen die Summanden nicht gegen 0, die Reihe divergiert

Comments

Hey, danke erstmals Myers Könntest du bitte kurz erklären, wie man dadurch sieht, dass die Reihe divergiert? Das ganze ist noch etwas neu für mich. (Also deine Rechenschritte verstehe ich)

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Myers

Wen meinst Du?

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Ohh sorry, das sollte da nicht stehen. Meine dich

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Also: Wenn eine Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}a_k\) konvergiert, dann ist notwendig \(a_k \to 0\). Wenn also umgekehrt die Folge der Summanden nicht gegen 0 konvergiert, dann divergiert die Reihe. Das gehört zum Grundwissen über Reihenkonvergenz.