Berechnen Sie für die oben genannte Reihe den Reihenwert. (Partialbruchzerlegung)

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \frac{2}{k^2+4k+3} \)

Berechnen Sie für die oben genannte Reihe den Reihenwert.

Problem/Ansatz:

Als Lösung wurden 5/6 genannt.

Ich komme jedoch auf 5/12.

Sieht vielleicht jemand meinen Fehler?

Meine Schritte:

1. Nenner umformen zu (k+2)^2-1

2. Partialbruchzerlung mit (k+2)^2 im Nenner

3. A = -1/4 u. B = 1/4

4. Grenzen verschieben so das ich zum Ende folgendes habe:

\( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{l=0}^{n-1}{\frac{1}{l+2}} \) - \( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{l=1}^{n}{\frac{1}{l+2}} \)

daraus berechne ich dann:

\( \frac{1}{4} \)(\( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{3} \)) - \( \frac{1}{4} \)(\( \frac{1}{n} \)+\( \frac{1}{n-1} \))

dafür den Grenzwert berechnet, der bei mir \( \frac{5}{24} \) beträgt dann mit 2 Multipliziert, da ich zu Beginn die 2 aus dem Zähler vor die Summe gezogen habe, aber das ergibt dann \( \frac{5}{12} \)  und nicht \( \frac{5}{6} \)

Finde es merkwürdig das es genau um den Faktor zwei abweicht, so verkehrt wars dann bis dahin ja nicht.

Wäre euch dankbar wenn mir einer auf die Sprünge helfen kann.

Comments

Deine PBZ scheint falsch zu sein: Besser vielleicht \(\dfrac2{k^2+4k+3}=\dfrac2{(k+1)(k+3)}=\dfrac1{k+1}-\dfrac1{k+3}\).

Answer 1

Hallo

gut ist noch 1. Nenner umformen zu (k+2)^2-1

aber dann Partialbruchzerlung mit (k+2)^^2 im Nenner verstehe ich nicht,

du hast doch (k+2)^2-1=(k+2+1)*(k+2-1)=(k+3)*(k+2) wie du zu den l+2 im Nenner kommst ist mir nicht klar.

(Um Fehler zu vermeiden hilft oft die ersten 3 bis 4 Summanden der ursprünglichen Summe und die der aufgeteilten zu bestimmen)

Gruß lul