Tensorprodukt, Kongruenz zeigen

Question

Aufgabe:

Zeige:

$$K^m \otimes K^n \cong Mat_{m,n}(K) \cong K^{mn} \\ und \\ Mat_m(K) \otimes Mat_n(K) \cong Mat_{mn}(K)$$

Problem/Ansatz:

$$K^m \otimes K^n = \alpha K^m \otimes \alpha K^n = \alpha(K^m \otimes K^n)\\ \alpha K^m \otimes K^n = \alpha(K^m \otimes K^n) = K^m \times K^n =mat_{n,m} K^{mn} \\ K \cong K^{mn}\\ und\\ Mat_m(K) \otimes Mat_n(K) = mat_m(\alpha K) \otimes mat_n (\alpha K)= \\ \alpha(mat_m(K) \otimes mat_n(K)= mat_m(K) \times mat_n(K)\cong \\ mat_{mn}(K)$$

Stimmt das so? Wenn nicht wo liegt der Fehler?