Zeigen Sie Kongruenz und umwandeln

Question

Aufgabe:Gegeben seien a, b ∈ Z \ {0}. Wir setzen M := {ax + by ; x, y ∈ Z} ∩ N.
Zeigen Sie
(a) M ≠ ∅ , daher existiert ein kleinstes Element t in M ; (b) für d:=ggT(a,b) gilt d / t;
(c) t≤d,alsofolgt d=t.
(d) FolgernSie,dasses u,v∈Z gibt,mit d=au+bv.

Answer 1

Aufgabe:Gegeben seien a, b ∈ Z \ {0}. Wir setzen M := {ax + by ; x, y ∈ Z} ∩ N.
Zeigen Sie
(a) M ≠ ∅ , daher existiert ein kleinstes Element t in M ;

Wegen des Schnittes mit N ist M eine nach unten beschränkte

Teilmenge von Z, also besitzt sie ein kleinstes Element.

(b) für d:=ggT(a,b) gilt d / t;    Wenn k ein gemeinsamer Teiler

von a und b ist, ist es auch ein Teiler von jedem ax + by

also von jedem Element von M, damit auch von t.

(c) t≤d,  also folgt d=t; denn es ist ja d Teiler von t, also d≤t

und somit gilt dann t≤d und  d≤t , also d=t.

(d) FolgernSie,dasses u,v∈Z gibt,mit d=au+bv. Weil d ein

Element von M ist, gibt es solche u und v.

Comments

Danke für deine Hilfe!

Es sei m ∈ N. Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe, dass ein Element a ∈ Zm genau dann invertierbar ist, wenn gilt ggT(a,m) = 1.
Nutzen Sie eine Tabellenkalkulation um die Inverse von 18¯ in Z₂₃ zu finden.

Soll man hier einfach Elemente, die tellerfremd sind schreieben ?