Bestimme alle n∈ℕ, die folgende Kongruenz: 2n ≡ 4 mod 7 erfüllen.

Question

Aufgabe:

Bestimme alle n∈ℕ, die folgende Kongruenz: 2ⁿ ≡ 4 mod 7 erfüllen.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider keinen Ansatz, wie ich das lösen kann. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

φ(7)=6

Also ist 2^6 ≡ 1 mod (7), du musst deshalb nur n in {0,1,2,3,4,5} betrachten. Für jedes n' in dieser Menge, dass die gegebene Kongruenz erfüllt ist

n = 6*k + n' mit k∈ℕ

ein weiterer Exponent für den die Kongruenz erfüllt ist

Answer 1

Berechne \(2^1\operatorname{mod}7\), \(2^2\operatorname{mod}7\), \(2^3\operatorname{mod}7\), \(2^4\operatorname{mod}7\), \(2^5\operatorname{mod}7\), \(2^6\operatorname{mod}7\), \(2^7\operatorname{mod}7\), \(2^8\operatorname{mod}7\), \(2^9\operatorname{mod}7\), \(2^{10}\operatorname{mod}7\), \(2^{11}\operatorname{mod}7\), \(2^{12}\operatorname{mod}7\), \(2^{13}\operatorname{mod}7\) und \(2^{14}\operatorname{mod}7\).

Stelle eine Vermutung auf.

Beweise die Vermutung.

Comments

Ja also die Vermutung habe ich schon: {n ∈ ℕ ∪ {0} : 2 + n*3}. Nur weiß ich nicht, wie ich das beweisen kann.

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{n ∈ ℕ ∪ {0} : 2 + n*3}

Das ist keine gültige Notation einer Menge.

Mengen werden geschrieben in der Form

        \(\{\text{[Term]}\in \text{[Grundmenge]}: \text{[Aussageform]}\}\)

In obiger Angabe ist zwar \(n\) ein geeigneter Term und \(\mathbb{N}\cup \{0\}\) eine geeignete Grundmenge, aber \(2+n*3\) ist keine Aussageform, sondern ein Term.

Stattdessen:

        \(\{m\in \mathbb{N}:\ \exists n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\ m=2+3n\}\)

oder

        \(\{2+3n\in \mathbb{N}:\ n\in \mathbb{N}\cup\{0\}\}\)

wie ich das beweisen kann.

Vollständige Induktion.

Answer 2

Für n>1 gilt:

2ⁿ≡4 mod7 ist äquivalent zu

2^n-2≡1 mod7 

Dies ist für n=2 der Fall und dann für jedes n mit n-2=3k.

Comments

Aber wie beweise ich das, dass es dann für jedes n mit n - 2 = 3k gilt?

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Nach Fermat ist 2⁶≡1 mod7. Dann weiter mit dem Restklassenkalkül.

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Dies ist für n=2 der Fall

Ist das so?

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2^2-2≡1 mod7 was ist daran zweifelhaft?

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Nichts. Aber für den Schluss, dass n-2=3*k ist, ist das nicht ausreichend. Dafür sollte man erwähnen, dass auch n=5 eine Lösung darstellt.

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Dein Kommentar lautete:

"Dies ist für n=2 der Fall."    Ist das so?

Jetzt folgt ein Kommentar, der damit nichts zu tun hat:

Aber für den Schluss, dass n-2=3*k ist, ist das nicht ausreichend.