Diphantische Gleichung in Kongruenz umwandeln und dann berechnen

Question

Aufgabe:Die lineare Gleichung ax-by=c hat die Lösungsmenge L={(12 + 3k,31+4k)|k element Z}

Bilde eine passende diophantische Gleichung, überführe sie in eine Kongruenz und löse sie dann. Begründen Sie, dass die Lösungsmengen gleich sind.

…

Problem/Ansatz: Ich bin auf folgende diophantische Gleichung gekommen: a= 3, b=4 und c=10 mit k= (-6) sprich 3x-4y=10.

Wie komme ich jetzt auf die Kongruenz aus der Gleichung? Ich habe doch überhaupt kein mod oder ähnliches gegeben... stehe gerade auf'm Schlauch

Vielen Dank im Voraus!

Gruß

Thomas

Answer 1

In der Gleichung dürfen nur x und y vorkommen, kein k.

Wenn man x=12 + 3k und y=31+4k hat, dann heben sich in dem Term 4*x - 3*y  die k-Werte auf
(12k - 12k=0).

Es gilt dann 4x-3y=4*12-3*31=-45

Deine diophantische Gleichung mit den vorgegebenen Lösungspaaren kann also z.B. die Form 4x-3y=-45 haben.

Jetzt nehmen wir mal beide Seiten mod 3. Wir erhalten

1x mod 3 ≡ 0 mod 3, also x=3*m.

Wenn wir das in die Gleichung einsetzen, erhalten wir 4(3m)-3y=45

3y=12m + 45

y=4m+15

Die Lösungen lassen sich also AUCH als Paare (3m, 4m+15) darstellen.

Das sind die selben Lösungen wie (12 + 3k,31+4k) , denn mit m=4 bekommt man das gleiche Paar wie mit k=0, und mit m=5 das gleiche wie mit k=1 usw.