Hallo,
Hinweis: Stellen Sie die Summanden mittels Partialbruchzerlegung als Summe bzw. Differenz dar, Ansatz: \( \frac{2}{(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k+1}+\frac{B}{k+3} \)
Guter Tipp ;-) mach das doch:$$\begin{aligned} \frac{2}{(k+1)(k+2)}& =\frac{A}{k+1}+\frac{B}{k+3} &&|\,\cdot (k+1)(k+3)\\ 2 &= A(k+3) + B(k+1) \\ 2 &= kA + 3A + kB + B &&|\, -3A-B\\ \underbrace{2 - 3A - B}_{=0} &= k\underbrace{(A+B)}_{=0}\\ \implies A &= 1, \quad B = -1 \end{aligned}$$Folglich wird die Summe ...$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac2{(k+1)(k+3)} \\=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac 1{k+1} - \frac 1{k+3} \right) \\ = \frac 12 {\color{red}- \frac 14} \space + \frac 13 {\color{green}- \frac 15 } \space {\color{red}+ \frac 14} {\color{blue}- \frac 16} \space {\color{green}+ \frac 15} - \frac 17 \space {\color{blue}+ \frac 16} - \frac 18 + \dots \\ = \frac 12 + \frac 13 = \frac 56$$... zur Teleskopsumme
