y=((z^3)-2)/((z^2)-4) als Potenzreihe mithilfe von Partialbruchzerlegung und geom. Reihe entwickeln

Question

y=((z^3)-2)/((z^2)-4) als Potenzreihe mithilfe von Partilabruchzerlegung und geom. Reihe entwickeln 

Hab als Partialbruch: (3/2)/(z-2)+(5/2)/(z+2)

Wie mache ich weiter

Comments

Partialbruchzerlegung scheint nicht zu stimmen. Vgl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3%2F2)%2F(z-2)%2B(5%2F2)%2F(z%2B2) 

Im Link kannst du auch sehen, wohin du mit dieser Zerlegung kommen könntest. 

Answer 1

y=((z³)-2)/((z²)-4)   =   z +   (3/2)/(z-2)+(5/2)/(z+2)




und   geo. Reihe mit  Quotient q gibt Grenzwert   1 / ( 1-q)


Also bringst du etwa       (3/2)/(z-2)

auf die Form    (-3/4)/( 1  - z/2   ) 

und   erhältst die Reihe  ∑ für n=0 bis unendlich über  (-3/4)   *   (z/2)ⁿ 


=    ∑ für n=0 bis unendlich über  (-3/2ⁿ⁺² )   *   zⁿ 
und für   (5/2)/(z+2)     entsprechend. 


Und das        z +   nicht vergessen, dann passt es.

Comments

Vielen dank. Mir ist nur nicht so ganz klar wie man auf das z + kommt 

---

mach einfach Polynomdivision:

((z³)-2)    :   ((z²)-4)    =  z   +   (4z-2) /   ((z²)-4)  
z³  - 4z
---------
    4z - 2 

Und deine   Partialbruchzerlegung gibt nur den 2. Teil

(4z-2) /   ((z²)-4)  .

---

Vielen dank. Eine letzte Frage  

"(-3/4)/( 1 - z/2 )  

und erhältst die Reihe ∑ für n=0 bis unendlich über (-3/4) * (z/2)^n

∑ für n=0 bis unendlich über (-3/2^n+2 ) * z^n

Kammst du mir die Schritte erklären um auf diesen Ausdruck zu kommen bitte

---

Vermutlich kennst du die Formel für die geo. Reihe∑ n=0 bis unendlich  qⁿ =  1 / ( 1 - q)

also gibt es  für q = (z/2)  das Ergebnis  1 /  ( 1 - (z/2) 

und den Faktor  (-3/4) kannst du noch in die Summe reinziehen.

 

---

Viele vielen dank nochmal. Hab  alles soweit verstanden. Wie bringe ich (5/2)/(z+2) auf die form 1/(1-q). Hab es auf die Form (5/4)*1/(1+z/2) gebracht. Wie bekomme ich da ein minus vor  z/2 kann ich auch die Form (-5/4)*1/(-1-z/2) für die formel benutzen

---

Sorry das ich so viele Fragen stellen . Ich versuch grad nachzuvollziehen wie du von ∑(-3/4)*(z/2)^n auf ∑(-3/2)^{n+2} * z^n kommst

---

∑(-3/4)*(z/2)ⁿ

= ∑(-3/2) * (1/2)  * zⁿ   / 2ⁿ 

=   ∑(-3/2) *  ( zⁿ   / 2ⁿ  )   * (1/2)   (alle Zähler multipl. und alle Nenner)

=  ∑(-3) *  ( zⁿ )    /   ( 2 * 2ⁿ  * 2)

=  ∑(-3) *  ( zⁿ )    /   ( 2ⁿ⁺²  )

=  ∑ -3 /  ( 2ⁿ⁺²  ) *   zⁿ 

Die Klammer war falsch, die 3 wird nicht hoch ... genommen.

---

Hallo ich habe das selbe Problem wie der Fragensteller. Ich habe jetzt bereits beide Ausdrücke mittels geom. Reihe zu einer Potenzreihe umgeschreiben. Ich komme aber nicht darauf wie mir das mit dem +z gelingen soll. Könnte mir da jemand helfen? 

---

Was hast du als Potenzreihe, wenn ich fragen darf.

---

Ich glaub einfach z+ (die Reihe)