Wert bei einer rekursiv definierten Folge berechnen! E(n+1)=(E(n)*0.97)+15.89J , E(0)=588.6J

Question

bei einer Aufgabe zu einem Pendel soll ich die Energie nach einer gewissen Anzahl an Wiederholungen (50) berechnen.

Ich habe eine rekursiv definierte Folge aufgestellt:

E(n+1)=(E(n)*0.97)+15.89J , E(0)=588.6J

Muss ich nun alles per Hand bis zu dem Wert 50 rechnen, oder gibt es da einen Trick? Und welchen Wert bekommt ihr raus?

Vielen Dank euch 

Comments

Brauchst du "nur" E(50) oder alle E(n) bis E(50) ? 

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ich benötige nur E(50) :) Also den Wert der Energie nach 50 Wiederholungen :)

Answer 1

Hi,

Du hast eine Reihe der Form
$$ E_{n+1} = \alpha E_n + c $$
mit \( \alpha = 0.97 \), \( c = 15.89 \) und \( E_0 = 588.6 \)
Durch rekursives einsetzten bekommt man
$$ E_{n+1} = \alpha^{n+1} E_0 + c \sum_{k=0}^n \alpha^k $$
Die letzte Summe ist eine geometrische Reihe, daraus ergibt sich
$$ E_{n+1} = \alpha^{n+1} E_0 + c \frac{ \alpha^{n+1} - 1 }{ \alpha - 1 } $$
Alles eingesetzt ergibt $$ E_{50} = 542.518  $$

Comments

Vielen Dank :)

Wo könnte ich mir das Wissen für den ersten Schritt der Umformung aneignen? 

Da ich diesen gerne genauer nachvollziehen würde :)

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Hi, Du musst nur der Reihe nach einsetzen und dann verallgemeinern. Mach das mal bis \( E_3 \) dann erkennst Du die Systematik schnell.