Komplexe potenzreihe (geom. Reihe?)

Question

Die Aufgabe lautet : sei z∈ℂ mit |z|<1 zu zeigen ist. (z-1)∑∞_n=0 (n+1)zⁿ= 1/(1-z)

Meine vermutung ist das es sich um die geometrische Reihe handelt? Ist das so? Wie kann ich dessen radius bestimmen bzw. diese poenzrrihe konvergiert?

Answer 1

betrachte  a_n / a_n+1 =   n  /  (n+1) Das hat für x gegen unendl. den GW 1
also ist 1 der Konv.radius.
Mit der geo. Reihe hängt es zusammen, die ist ja
summe n=o bis unendlich  z^n  =    1/(1-z)

jetzt machst du auf beiden Seiten die abl. (Bei Potenzreihen, kann man das gliedweise tun)

summe n=o bis unendlich  n*z^{n-1}  =    -1/(1-z)^2  *  (-1)   das *  (-1)wegen Kettenregel

und schreibst die Summe um

summe n=-1 bis unendlich  (n+1)*z^n  =    1/(1-z)^2

aber für n=-1 ist der erste summand 0, also kannst du auch bei n=0 anfangen

summe n=0 bis unendlich  (n+1)*z^n  =    1/(1-z)^2    jetzt noch | * ((1-z) dann hast du es.