Alternierenede Potenzreihe: Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Reihe konvergiert

Question

Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, für die die Reihe \( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n - 3 } x ^ { 2 n + 1 } \) konvergiert.

Wie geht man hier mit dem Exponenten von x um also dem 2n+1 ? Ich weiß wie man mit Konvergenzradien von alternierenden Reihen umgeht die auf x^n enden aber hier verwirrt mich der Exponent.

Answer 1

$$x^{2n+1}=x*(x^2)^{n}=x*z^n\\ \text{mit }x^2 = z$$

ziehe nun das erste x vor die Summe.

Dann hast du eine normale Potenzreihe der Form

$$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^n}$$

deren Potenzradius du normal mit z.B Cauchy-Hadamard bestimmen kannst.

Comments

Was ist dann mit dem vorgezogenen x hat das dann irgendeine Auswirkung auf den Konvergenzradius oder kann das in dem Fall vernachlässigt werden?

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Nein,das vorgezogene x ist nur ein Faktor, es ändert gegebenfalls den Wert der Reihe, aber nicht das Konvergenzverhalten.

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Verstehe also wird der Konvergenzradius dadurch nicht verändert sondern beispielweise die Randberechnung?

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Was meinst du mit Randberechnung?

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Beispielsweise wird gegeben dass der Konvergenzradius R=1 so wissen wir, dass alles
im Intervall (-1,1) konvergiert und alles außerhalb von [-1,1] divergiert. Aber da bleiben noch die Punkte 1 und -1 die wir auf Konvergenz untersuchen müssen, wird da dann das x wieder miteinbezogen?

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Beispielsweise wird gegeben dass der Konvergenzradius R=1 so wissen wir, dass alles
im Intervall (-1,1) konvergiert und alles außerhalb von [-1,1] divergiert.

Genau.

Aber da bleiben noch die Punkte 1 und -1 die wir auf Konvergenz untersuchen müssen, wird da dann das x wieder miteinbezogen?

Ne,das kannst du weglassen, ist nur ein konstanter Faktor und ändert an der Konvergenz nicht.Wenn du dich davon überzeugen willst, so rechne beide Varianten durch, einmal ohne das x und einmal das x mit im a_n enthalten.