Bestimme alle x∈ℝ, für welche die Potenzreihe konvergiert.

Question

ich muss alle x∈ℝ bestimmen, für welche die Potenzreihe konvergiert. Die Potenzreihe lautet:

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -4nx \right)  }^{ n } }{ { { 2n }^{ 3 } } }  }$$

Dazu muss man ja die xⁿ außer acht lassen. Wie macht man das aber bei dieser Potenzreihe

Danke für eure Unterstützung.

Comments

Kann mir jemand sagen wie ich hier Vorgehen muss?

Bestimme alle x€R, für welche die Potenzreihen konvergieren:  

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EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Eine Frage, pro Frage. Ausserdem: Rubrik "ähnliche Fragen" auf Ideen durchsuchen.

Gefunden 4c) https://www.mathelounge.de/448853/bestimme-alle-x%E2%88%88%E2%84%9D-fur-welche-die-potenzreihe-konvergiert

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Wenn du 4c) gefunden hast: Gib der dortigen Frage einen Daumen und schreibe in einem Kommentar, dass du die Antwort auch nicht selbst findest. Vielleicht hat Linn1 die Lösung inzwischen.

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weiß jemand wie diese Aufgabe zu lösen ist, ich wäre sehr dankbar!

Ich soll wie oben geschrieben zu diesen Potenzreihen

alle x bestimmen, für die sie konvergieren. Kann mir jemand anhand eines Lösungswegs erklären, wie es geht?

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Bitte eine Frage / Frage und die Suche benutzen. Ich habe diese Fragen (zumindest sehr ähnlich) in den letzten paar Tagen mehrfach gesehen.

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c) findest du hier:

https://www.mathelounge.de/448853/bestimme-alle-x%E2%88%88%E2%84%9D-fur-welche-die-potenzreihe-konvergiert 

In einem Kommentar dort auch b)

Answer 1

Es ist (-4nx)^n=(-1)^n *4^n *x^n

Somit lautet a_n= (-1)^n *4^n /(2n^3)

Nun kannst du den Konvergenz Radius mithilfe von bekannten Formel ermitteln.

Notfalls bei Wikipedia nachlesen falls dir auf Anhieb keine einfällt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

Comments

Vielen Dank Gast jc2144,

mir war klar wie man den Konvergenzradius bestimmt. Was mir allerdings unklar war bzw. immer noch unklar ist, warum man die xⁿ raus "extrahiert". Am Beispiel oben habe ich es verstanden. Wie ist es denn aber z.B mit den Potenzreihen wie: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( x-1 \right)  }^{ n } }{ n }  } $$ Oder was wenn die xⁿ  im Nenner steht?

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Also bei deinem zweiten Beispiel musst du beachten, dass der Entwicklungspunkt x₀=1 ist, daher du hast schon die Form einer Potenzreihe ∑a_n (x-x₀)^n   mit a_n = 1/n

Im ersten Beispiel war x₀ =0

Wenn (x-x₀)^n im Nenner steht musst du durch Umformungen oder Substitutionen die allgemeine Form

  ∑a_n (x-x₀)^n herstellen oder mit Beziehungen zur geometrischen Reihe arbeiten. Manchmal ist dies aber nicht möglich, dann handelt es sich nicht um eine Potenzreihe.