Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmen und angeben für welche z-Werte die Reihe konvergiert.

Question

$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty}e^{\frac{2\pi i}{7}n}(z-7i)^n $$

Hallöchen,

Ich will den Konvergenzradius bestimmen und daraus folgern, welche \( z \in \mathbb{C} \), die Potenzreihe konvergiert.

Ansatz:

Ich wollte es mit dem Satz von Cauchy und Hadamard probieren, da n im Exponenten steht.

$$ R = \frac{1}{\lim \limits_{x \to \infty}|a_n|^\frac{1}{n}} $$

Umgeformt habe ich nicht, weil der Term sich bereits in der Form \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \) befindet.

Zuerst wollte ich \( |a_n|^{\frac{1}{n}} \) so weit wie möglich auflösen.

$$ |a_n|^\frac{1}{n} = (|e^{\frac{2\pi\ i}{7}n}|)^\frac{1}{n} = |e^{\frac{2\pi\ i n}{7n}}| = |e^{\frac{2\pi\ i }{7}}| $$

Hier kommt kein gescheiter Wert raus. n ist weg und es ließe sich also auch nichts dadurch retten, n gegen unendlich laufen zu lassen. Mit dem Quotientenkriterium komme ich auch nicht weiter. Wenn ich die 2, die 7 und n loswerden könnte, käme ich vielleicht über die eulersche Identität zu einer ganzen Zahl.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Comments

Stimmt alles wie du es berechnet hast also mit Betrag von e^2pi....usw

jetzt ist nur die Frage was der wert für |e^ix| mit x aus R ist ;) dann haste dein konvergenzradius

Answer 1

\( |a_n|^\frac{1}{n} = (|e^{\frac{2\pi\ i}{7}n}|)^\frac{1}{n} = |e^{\frac{2\pi\ i n}{7n}}| = |e^{\frac{2\pi\ i }{7}}| \)

Daraus folgt

        \(\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} |e^{\frac{2\pi\ i }{7}}| }= \frac{1}{|e^{\frac{2\pi\ i }{7}}|}\)

n ist weg

Was siehst du daran als problematisch an?