Für welche x Element der Reellenzahlen konvergiert die Potenzreihe?

Question

Aufgabe:

Für welche x Element der Reellenzahlen konvergiert die Potenzreihe?

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+3)\cdot n^n}{n!}\cdot(x+3)^n $$

Problem/Ansatz:

Meine Frage wäre, ob der Lösungsweg bzg. die Lösung so richtig wäre. Da ich leider nichts vergleichbares dazu habe ..

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

der Rechenweg und das Ergebnis ist korrekt.

Comments

ich danke ihnen!

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Ich habe eine grundsätzliche Frage, wie kann es sein ,dass diese Reihe für

X>0 konvergiert?

\(n ^{n} \) > n! für n>1

\((x+3) ^{n} \) →∞ 

Was habe ich nicht verstanden?

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Hallo,

das Endergebnis ist falsch notiert. Es ist das Intervall \((-3-\frac{1}{e},-3+\frac{1}{e})\), also gehört \(x>0\) nicht dazu nicht dazu.

Noch eine Bemerkung: Streng genommen fragt die Aufgaben nach allen Konvergenzpunkten, also auch nach dem Verhalten in den Randpunkten.

Gruß

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Stimmt, danke, das habe ich übersehen. LG.

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Jetzt wollen wir nur hoffen, dass N25L

das noch liest. Danke für die schnelle Antwort.

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Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, woher das das Minus bei -3

$$ (-3-\frac{1}{e},-3+\frac{1}{e}) $$ 

herkommt.

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Die Potenzreihe konvergiert, wenn |x+3|<1/e, also -1/e<x+3<1/e. Durch Subtraktion von -3 erhältst du dann

-1/e-3<x<1/e-3 also x in (-1/e-3,1/e-3).

1/e ist der Konvergenzradius.

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Hat sich überschnitten:

Du hast dne Konvergenzradius \(r=\frac{1}{e}\) berechnet. Damit ist Konvergenz garantiert für alle x mit \(|x+3|<r\). Das ist äquivalent zu \(x \in (-3-r,-3+r)\). Oder mit anderen Worten: \(|x+3|=|x-(-3)|<r\) beschreibt alle Punkte x, deren Abstand zu -3 kleiner als r ist.

Gruß

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Achsoo, jetzt habe es ich verstanden! Danke euch!

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Hallo,

ich habe das nie gemacht, oder habe es vergessen, darum habe ich jetzt noch eine Frage.

Die Reihe lautet

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(n+3)*n^{n}}{n!}} * (x+3)^{n} \)

jetzt wird im Folgenden das

\( (x+3)^{n} \)

unterschlagen, und nur

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(n+3)*n^{n}}{n!}} \) 

betrachtet, denn sonst hätte ja noch ein \( \frac{1}{(x+3)} \) erwähnt werden müssen .

Diese Folge strebt wie ihr sagt gegen \( \frac{1}{e} \)

Dies ist der Konvergenzradius r.

Nun kommt meine Frage.

Kann ich das mit jedem in einer Summe stehenden Produkt so machen?

Kann ich diese Faktoren also getrennt betrachten ?

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Oh, entschuldigt,

ich habe in Wikipedia nachgesehen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Es ist ja die Definition des Konvergenzradius und nicht das Quotientenkriterium, sonst hätte ja auch der Kehrwert dort stehen müssen.

Die Frage hat sich somit geklärt.

Vielen Dank für eure Nachsicht.