Reihe anders darstellen (Partialbruchzerlegung?)

Question

Wie kommt man von der Formel

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2 k+1}=\frac{\pi}{4} \)

auf die Formel:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{2 k+1}}{4 k+3}+\frac{(-1)^{2 k}}{4 k+1}\right)=\frac{\pi}{4} \)

Ist das was ähnliches wie Partialbruchzerlegung?

Answer 1

Durch Trennung der Summanden in 2 Sparten: mit negativen Zähler -1 und positivem Zähler +1

pos. Zähler:

2k statt k einsetzen (gerade Zahlen):

(-1)^2k/  2(2k)+1  = (-1)^2k/  4k+1

2k-1 statt k einsetzen (ungerade Zahlen):

(-1)^2k+1/  2(2k+1)+1  = (-1)^2k+1/  4k+3