Beweisen Sie, dass die komplexe Konjugation L auf sich abbildet und deshalb einen Automorphismus von L definiert.

Question

Aufgabe:

Sei L ein Teilkörper von C, der eine Galoiserweiterung vonQ ist. Beweisen Sie, dass die komplexe Konjugation L auf sich abbildet und deshalb einen Automorphismus von L definiert.

Habe schon gezeigt, dass es ein Homomorphismus ist, die bijektivität fällt mir aber etwas schwer, kann mir jemand helfen?

Comments

Sei $\sigma(z)=\overline{z}$. Das ist wegen

$\sigma\circ \sigma=id$ natürlich ein Isomorphismus.

Das ist hier auch nicht das eigentliche Problem.

Dies besteht darin zu zeigen, dass $\sigma(L)=L$ ist,

dass also $L$ mit dem konjugierten Körper $\sigma(L)$

übereinstimmt.

Dazu reicht es, $\sigma(L)\subseteq L$ zu begründen.