Gruppenhomomorphismen Hilfe: φ:ℤ/12ℤ→ℤ/20,n↦5n mod 20

Question

Die Aufgabe lautet: Prüfen Sie, ob folgende Vorschriften Gruppenhomomorphismen definieren.

φ:ℤ/12ℤ→ℤ/20,n↦5n mod 20.

Kann mir einer erklären wie man das prüfen kann? Am besten anhand dieser Aufgabe. Versuche jetzt schon etwas länger auf die Lösung zu kommen...

!!! :-P

Answer 1

Du musst nur prüfen, ob für alle a,b ∈ :ℤ/12ℤ

gilt   φ(a+b) =   φ(a)   +   φ(b)  vielleicht erst mal mit Beispielen etwa 

  φ(2+5) =     φ(7) =   5*7 MOD 20 
                            
                             =   35  MOD 20
               
                               = 15                                 =  10     +    5
           
                                = 2*5  MOD 20   +  5*5 MOD 20 

                                 =   φ(a)   +   φ(b) 
Das passt schon mal.  Und das musst du jetzt allgemein für

alle a,b zeigen.  Dann ist es ein Gruppenhom.