Zeigen Sie, dass es Gruppenhomomorphismen sind.

Question

a) Seien \( (G, \diamond, e),(H, \cdot, \tilde{e}) \) zwei Gruppen und \( U \subset G \) eine Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass
\( \varphi_{1}: G \rightarrow H, \quad g \mapsto \tilde{e} \)
und
\( \varphi_{2}: U \rightarrow G, \quad u \mapsto u \)
Gruppenhomomorphismen sind

.
b) Berechnen Sie \( \operatorname{Kern}\left(\varphi_{1}\right) \) und \( \operatorname{Kern}\left(\varphi_{2}\right) \).

Answer 1

Zeigen, dass \( \varphi_{1}: G \rightarrow H, \quad g \mapsto \tilde{e} \)und\( \varphi_{2}: U \rightarrow G, \quad u \mapsto u \)Gruppenhomomorphismen sind.

Zu   \( \varphi_{1} \): Seien x,y ∈ G. Dann ist zu zeigen :

\( \varphi_{1} (x\diamond y) = \varphi_{1} (x) · \varphi_{1} (y) \)

Das ist aber wahr, da \( \tilde{e}= \tilde{e}   ·\tilde{e} \).