Beweis von (AB)T=BT*AT mit dem Skalarprodukt

Question

Ist das in folgender Form möglich?

( x ( AB )^T | y ) = ( x | AB y ) = ( A^T x | B y ) = ( B^TA^T x | y )

Comments

Könntest du diese Darstellung etwas näher erläutern?

( x ( AB )^T | y )

Was soll sie bedeuten?

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A, B sind Matrizen

A^T ist die Transponierte von A

 

Ich habe (A*B)^T in das Skalarprodukt von x und y, also ( x | y ) eingesetzt, so wie man das beim Beweis (aA+bB)^T=aA^T+bB^T macht. Ich weiß aber leider nicht, ob man das bei diesem Beweis hier auch so machen kann...

Answer 1

Es muss \(((AB)^Tx|y)=(x|(AB)y)=(x|A(By))=(A^Ty|Bx)=(B^T(A^Tx)|y)=((B^TA^T)x|y)\)
für alle \(x,y\) heißen, also \((AB)^Tx=(B^TA^T)x\) für alle \(x\), also \((AB)^T=B^TA^T\).