transponierte Matrix Determinante

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Wie in der Vorlesung sei die Transponierte einer
Matrix A=(aij)1≤i≤m 1≤j≤n element Kmxn

gegeben durch

A t= (aij)1≤i≤m 1≤j≤n element Kn×m
(a) Für alle A ∈ Kl×m, B ∈ Km×n gilt, dass (AB)^t=B^tA^t
(b) Für alle A ∈ GLn(K) ist At invertierbar und es gilt
(A^t)^-1 =(A^ -1)^t.

Answer 1

Aloha :)

a) Für \(A\in\mathbb K^{l\times m}\) und \(B\in\mathbb K^{m\times n}\) gilt \(AB\in\mathbb K^{l\times n}\) bzw. \((AB)^T\in\mathbb K^{n\times l}\). Wir betrachten das Element \((AB)^T_{ik}\) der transponierten Produktmatrix mit \(i=1,\ldots,n\) und \(k=1,\ldots,l\):$$(AB)^T_{ik}=(AB)_{ki}=\sum\limits_{j=1}^m a_{kj}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^m b_{ji}a_{kj}=\sum\limits_{j=1}^m (B^T)_{ij}(A^T)_{jk}=(B^TA^T)_{ik}$$Da diese Rechnung für alle Elemente der Produktmatrix richtig ist, gilt: \((AB)^T=B^TA^T\).

b) Für \(A\in GL_n(\mathbb K)\) gilt:

$$\left.A^{-1}A=\mathbf 1\quad\right|\;\text{transponieren}$$$$\left.(A^{-1}A)^T=\mathbf 1^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{Ergebnis von (a) verwenden}$$$$\left.A^T(A^{-1})^T=\mathbf 1\quad\right|\;\text{von links \((A^T)^{-1}\) multiplizieren}$$$$\left.(A^T)^{-1}A^T(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\mathbf 1\quad\right|\;\text{vereinfachen durch \((A^T)^{-1}A^T=\mathbf1\)}$$$$\left.(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\quad\right.$$