Transponierte Matrix, Determinante beweisen

Question

Seien n eine ungerade natürliche Zahl und

A ∈  Mat nxn (ℝ), so dass gilt A^t = -A

Beweisen Sie, dass det (A)=0. Bleibt diese Aussage richtig, wenn n eine gerade Zahl ist?

Kann mir bitte jemand das Vorgehen beim Beweisen erklären und mir aufschreiben, wie ich diese Aufgabe löse?

Answer 1

Sei \(n\) ungerade. Dann gilt

\(\det(A)=\det(A^t)=\det(-A)=(-1)^n\det(A)=-\det(A)\).

Also \(2\cdot \det(A)=0\Rightarrow \det(A)=0\).

Im Falle \(n\) gerade, betrachte die Matrix$$A=\left(\begin{array}{rr}0&1\\-1&0\end{array}\right)$$