Formel für Determinante beweisen

Question

Sei K ein Körper und A, B ∈ Matn×n(K) zwei beliebige Matrizen. Beweisen Sie die folgende Formel:

det$\begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}$ = det(A+B) * det (A - B) 

Kann mir bitte jemand sagen wie ich diese Formel beweisen kann ? Ich tue mich irgendwie sehr schwer damit

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte folgendes:

$$\begin{aligned}&\det(A+B)\cdot \det(A-B)\\[10pt]&=\det(A+B)\cdot 1\cdot \det(A-B)\cdot 1\\[10pt]&=\Big(\det(A+B)\cdot \det(I_n)\Big)\cdot \Big(\det(A-B)\cdot \det(I_n)\Big)\\[10pt]&=\det\left(\begin{pmatrix}A+B&0\\0&I_n\end{pmatrix}\right)\cdot \det\left(\begin{pmatrix}I_n&0\\0&A-B\end{pmatrix}\right)\\[10pt]&=\det\Bigg(\underbrace{\begin{pmatrix}A+B&0\\0&A-B\end{pmatrix}}_{=:M}\Bigg) \end{aligned}$$

>>>> Einschub <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Jetzt betrachte ich erstmal nur die Matrix

$$K:=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\in \mathbb{C}^{2,2}.$$

Diese will ich nun auf Diagonalisierung untersuchen:

Eigenwerte: $t_1=a+b,\quad t_2=a-b$.

Die Eigenräume lauten:

$$\text{Eig}(K,a+b)=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right)\\[20pt]\text{Eig}(K,a-b)=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right)$$

Transformationsmatrix:

$$T:=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad T^{-1}=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

Diagonalmatrix:

$$D:=\begin{pmatrix}a+b&0\\0&a-b\end{pmatrix}$$

Zusammen ergibt das als Probe:

$$\begin{aligned}T\cdot D\cdot T^{-1}&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a+b&0\\0&a-b\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\\[15pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a+b&a+b\\a-b&-a+b\end{pmatrix}\\[15pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2a&2b\\2b&2a\end{pmatrix}\\[15pt]&=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}=K \end{aligned}$$

>>>> Einschub Ende <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Damit betrachte ich mal analog:

$$\begin{aligned}&\underbrace{\begin{pmatrix}I_n&I_n\\I_n&-I_n\end{pmatrix}}_{=:X}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}A+B&0\\0&A-B\end{pmatrix}}_{=:M}\cdot \underbrace{\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}I_n&I_n\\I_n&-I_n\end{pmatrix}}_{=X^{-1}}\\[15pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}I_n&I_n\\I_n&-I_n\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}A+B&A+B\\A-B&-A+B\end{pmatrix}\\[15pt]&=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}2\cdot A&2\cdot B\\2\cdot B&2\cdot A\end{pmatrix}\\[15pt]&=\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=:G \end{aligned}$$

Schlussendlich kann ich damit die Rechnung von ganz anfang weiterführen:

$$\begin{aligned}&\det(A+B)\cdot \det(A-B)\\[10pt]&=\det(A+B)\cdot 1\cdot \det(A-B)\cdot 1\\[10pt]&=\Big(\det(A+B)\cdot \det(I_n)\Big)\cdot \Big(\det(A-B)\cdot \det(I_n)\Big)\\[10pt]&=\det\left(\begin{pmatrix}A+B&0\\0&I_n\end{pmatrix}\right)\cdot \det\left(\begin{pmatrix}I_n&0\\0&A-B\end{pmatrix}\right)\\[10pt]&=\det\Bigg(\underbrace{\begin{pmatrix}A+B&0\\0&A-B\end{pmatrix}}_{=:M}\Bigg)\\[10pt]&=\det(X^{-1}\cdot G\cdot X)\\[10pt]&=\det(X^{-1})\cdot \det(G)\cdot \det(X)\\[10pt]&=\det(G)=\det\Bigg(\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}\Bigg). \end{aligned}$$