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Determinante bei b) Ansatz Leibniz-Formel. Alternativ Zeilen- und Spaltentransformation?

determinante entwickeln? brauche hilfe bei der untenstehenden aufgabe

Bild Mathematik Brauche Hilfe bei der b

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     Determinante entwickeln? Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

          b    0     ...    0                   a22 ... a2n

det (  a21 a22 ...   a2n  ) = b * det (  a32 ... a3n  )

             a31 a32 ...   a3n                             ...............

              ..........................                            an2 ... ann

             an1 an2 ...ann

Das ist die Entwicklung nach der 1. Zeile.

Schau mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz

Der Wikipediaartikel hat mir leider nicht weitergeholfen

wie beweist man das untenstehende ohne anwendung des laplaceschen entwicklungssatzes

Bild Mathematik Brauche Hilfe bei b!

Schau mal, ob du in all den Versuchen bei der unvollständigen Frage hier: https://www.mathelounge.de/417957/laplacescher-entwicklungssatz-beweis die Formel von Leibniz erkennen kannst. Vielleicht findest du dort auch Zeilen- oder Spaltentransformationen.

Das ist der Laplacesche Entwicklungssatz, angewandt auf die erste Zeile.


2 Antworten

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Hallo Carpediem,

die beiden Matrizen M1 und M2  kann man mit dem Gauß-Algorithmus jeweils in eine obere Dreiecksmatrix D1 bzw. Dumwandeln  ( nur Nullen oberhalb der Hauptdiagonalen) ohne dass sich der Wert der Determinanten ändert.

Da die Teilmatrix von M1  ohne die 1. Zeile und Spalte mit M2 übereinstimmt, gilt das auch für D1 und D2 .

Der Wert der Determinanten D1 und D2 ist dann jeweils das Produkt  P1 bzw. P2  aus den Elementen der Hauptdiagonalen.

→  P1  =  b * P2

→  det(M1)  =  b * det(M2)

Gruß Wolfgang


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Die Determinante wird ja nach der Leibnizformel so ausgerechnet:

  $$\sum_{s∈ { S }_{n }}^{}{(sign(s)}\prod_{i=1}^{n}{{ a }_{i,s(i) }})$$

Und die Produkte beginnen alle mit einem Faktor von der Art  a1,s(1) .

Also ein Faktor aus der 1. Zeile der Matrix.  Außer in der ersten Spalte sind

dort aber überall 0en, somit werden diese Produkte alle den Wert 0 haben, nur in

dem Fall s(1)=1 nicht, denn bei a1,1 steht ja das b.

Und damit bleiben in der Summe nur die Produkte übrig, für die  s(1)=1 ist,

Bei denen werden also nur die Permutationen der Indizes von 2 bis n betrachtetund man erhält also (n-1)! Summanden, die alle ein b vorne haben.

Wenn man das b ausklammert, bleiben genau die Summanden übrig, die man

zur Berechnung der  kleineren Det. braucht.

Also hat man b*det( kleine Matrix) .
Avatar von 289 k 🚀

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