Die Determinante wird ja nach der Leibnizformel so ausgerechnet:
$$\sum_{s∈ { S }_{n }}^{}{(sign(s)}\prod_{i=1}^{n}{{ a }_{i,s(i) }})$$
Und die Produkte beginnen alle mit einem Faktor von der Art a
1,s(1) .
Also ein Faktor aus der 1. Zeile der Matrix. Außer in der ersten Spalte sind
dort aber überall 0en, somit werden diese Produkte alle den Wert 0 haben, nur in
dem Fall s(1)=1 nicht, denn bei a
1,1 steht ja das b.
Und damit bleiben in der Summe nur die Produkte übrig, für die s(1)=1 ist,
Bei denen werden also nur die Permutationen der Indizes von 2 bis n betrachtetund man erhält also (n-1)! Summanden, die alle ein b vorne haben.
Wenn man das b ausklammert, bleiben genau die Summanden übrig, die man
zur Berechnung der kleineren Det. braucht.
Also hat man b*det( kleine Matrix) .
