Es geht, wie du richtig gesagt hast, so:
irgendeine Matrix+leibniz=determinante
irgendeine matrix+gauss+diagonalform=determinante
Solange es geschlossene Formeln gibt, ist man mit der Leibniz Formel besser dran als mit Gauss. Jetzt gibt es die in annehmbaren Maße aber nur bis 3x3. Die Formel für eine 4er Matrix ist schon nicht mehr schön. Guck dir dazu eventuell mal die Formel an (da gibt es eine Vorschrift für) und spiel ein bisschen mit Binomialkoeffizienten rum. So kommt man schnell dazu, dass die Formeln für grad 5,6,7 (...) etlich viele Terme haben.
Das einzig 'aufwendige' am Gauss algorithmus ist einfach nur der Platz, den größere Matrizen verbrauchen auf dem Papier.
Im Allgemeinen benutzt man nach unserem Prof ab 4x4 kein Leibniz mehr. Alles über 4x4 wird mit Gauss/Laplace gemacht.