Verständnisfrage:Leibniz-Formel für Determinante

Question

Hallo liebe Mathelounge User,

Ich hätte eine Verständnisfrage zur folgende Aufgabe: Jetzt verstehe ich nicht wie ich mit der Leibniz-Formel für Determinante von einer Matrix zu einer Diagonalmatrix kommen soll. Angenommen ich hätte eine solche Diagonalmatrix und soll dafür die Determinante ausrechnen, dann wäre es kein Problem mit der Leibniz-Formel.  Selbiges würde auch mit dem Gauss-Algorithmus gelten. Dann müsste man ja nur die Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren, aber dann hätte man ja den Gauss-Algorithmus überhaupt nicht benutzt.

Deshalb ist meine Überlegung nun: Angenommen ich hätte eine beliebige 3x3 Matrix (um es mit der Komplexität leicht zu halten). Soll man nun diese Matrix solange permutieren sowie den Gauss-Algorithmus verwenden um auf die Diagonalmatrix zu kommen?

Das ist das einzige, was ich mir vorstellen könnte.

Answer 1

Es geht, wie du richtig gesagt hast, so:

irgendeine Matrix+leibniz=determinante

irgendeine matrix+gauss+diagonalform=determinante

Solange es geschlossene Formeln gibt, ist man mit der Leibniz Formel besser dran als mit Gauss. Jetzt gibt es die in annehmbaren Maße aber nur bis 3x3. Die Formel für eine 4er Matrix ist schon nicht mehr schön. Guck dir dazu eventuell mal die Formel an (da gibt es eine Vorschrift für) und spiel ein bisschen mit Binomialkoeffizienten rum. So kommt man schnell dazu, dass die Formeln für grad 5,6,7 (...) etlich viele Terme haben.

Das einzig 'aufwendige' am Gauss algorithmus ist einfach nur der Platz, den größere Matrizen verbrauchen auf dem Papier. 

Im Allgemeinen benutzt man nach unserem Prof ab 4x4 kein Leibniz mehr. Alles über 4x4 wird mit Gauss/Laplace gemacht.

Comments

Ja das hab ich mir schon gedacht. Ich habe erst eben eine 5x5 Matrix mit Leibniz probiert und das "Ding" war etlich lang.

Aber sehr gut. Danke ! :)