Hallo,
Mir fehlt nur noch Nummer 3
Aber die geht doch genauso wie 2
Jedenfalls kann man diese Frage nach der Nicht-Existenz von bestimmten Abbildungen mit dem Dimensionssatz erledigen: Für eine lineare Abbildung \(L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) gilt:
$$n= \text{dim}\text{Kern}(L)+ \text{Rang}(L)=\text{dim}\text{Kern}(L)+\text{dim}{Bild}(L)$$
Außerdem ist L injektiv genau dann, wenn Kern(L) nur das 0-Element enthält, also die Dimension 0 hat. Und L ist surjektiv genau dann, wenn das Bild maximale Dimension hat, also m.
Im 3. Fall ist n=2 und m=4. Dann kann es keine surjektive Abbildung geben. Denn aus dem Dimensionssatz folgt hier:
$$\text{dim}{Bild}(L) \leq n=2$$.
Eine injektive Abbildung wäre einfach
$$L=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}$$
Im letzten Beispiel wäre der Rang maximal gleich 2, die Dimension des Kerns also mindestens gleich 1 und L wäre nicht injektiv.
Gruß