Matrix der kanonischen Basen? Kern? Injektivität/Surjektivität?

Question

Hallo liebe Mitglieder :)

Es geht um die Matrix einer linearen Abbildung $$f: \mathbb{Z}_3^3 \rightarrow\mathbb{Z}_3^3$$ und diese sei

$$T=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$$

bezüglich der Basen: $$B_1=\left( \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)\right)$$ und

$$B_2=\left( \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\right)$$

also $$T=[f]_{B_1}^{B_2}$$
Die Fragen lauten:

1. Geben Sie die zugehörige Matrix der kanonischen Basen an.

2. Ermitteln Sie Kern von T und beschreiben Sie ihn bzgl. B₁ und bzgl. kanonischer Basis.

3. Untersuchen Sie T auf Injektivität und Surjektivtät.

Eigentlich dachte ich relativ fit mit Kern und Basen zu sein. Jedoch verstehe ich nicht ganz was zu tun ist.

Zu 1. die kanonische Basis wäre doch $$E=\left( \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ o\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right)$$ aber was ist nun der "Bezug" zur Matrix?

Zu 2.: mit der Gaußzeilenform wie folgt

$$\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array}$$ mit 3-1:
$$\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

daran abzulesen, der

$$Kern (T)=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$$ aber wie das ganze in "Bezug" zu Basis oder kanon. Basis?

Zu 3. Ansatz fehlt...

Ich freue mich sehr über eure Hilfe und Lösungsvorschläge!

Vielen dank vorweg :)

Answer 1

zu 1. E ist so wie du es sagst.

Um die Matrix bezüglich E zu bestimmen, also $$M=[f]_{E}^{E}$$

musst du die Bilder der Basisvektoren von E mit der Basis E darstellen.

Wenn etwa v1,v2,v3 die Basisvektoren von B1 sind, dann gilt ja

\( \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\\\end{array}\right) = 1 \cdot v_1+ 1 \cdot v_2+ (-1) \cdot v_3 \)

Also sind die Koordinaten von e1 bzgl B1 \( \left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\\end{array}\right) \)

Und die Faktoren zur Darstellung von f(v1) bekommst du mit der Matrix T:

\( T \cdot \left(\begin{array}{r}1\\1\\-1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right)  \)   (Beachte -2=1 )   Also folgt :

$$f\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\\\end{array}\right) = 1\cdot \left( \begin{array}{r}1\\0\\-1\\\end{array}\right)+ 1 \cdot \left(\begin{array}{r}0\\-1\\0\\\end{array}\right)+ 1 \cdot \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\\0\\0\\\end{array}\right)$$

Somit ist \(  \left(\begin{array}{r}2\\0\\0\\\end{array}\right) \) die erste Spalte

der gesuchten Matrix. Die anderen entsprechend.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, das sind doch mehr Schritte als ich dachte.

Soweit denke habe ich es verstanden, dann mache ich mich mal an den Rest :)

Viele Grüße!