in Abhängigkeit Rang, Kern und Determinante bestimmen und daraufhin Injektivität prüfen

Question

Aufgabe:

Sei a eine Menge von Komplexen Zahlen und

A=

$\begin{pmatrix} 1+i & 1 & 0 \\ 1-i & 0 & 1-i \\ 0 & i-1 & a \end{pmatrix}$

a) Bestimme in Abhängigkeit von a den Rang(A), Kern(A) und det(A).

b) Sei a=1 und f : ℂ³ → ℂ³ , x → Ax. Prüfe ob die Abbildung f injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Folgendes habe ich ausgerechnet:
1. Fall a=0
x3 = t , t ∈ ℝ

x2 = 0

x1 = - $\frac{(1-i)*t}{2}$,    t ∈ ℝ\ {0}

det(A) = 0

Rang(A) = 2

Kern(A) = $\begin{pmatrix} \frac{-(1-i)*t}{2}\\0\\t \end{pmatrix}$,    t ∈ ℝ\ {0}

2. Fall a ≠ 0

x3 = 0

x2 = 0

x1 = 0

det(A) = -(i-1)*(1-i)*(1+i)-a*(1-i),    a ∈ ℝ\ {0}

b)
a=1 
Rang(A) = 3,

Kern(A) = {0},

==> f injektiv.

Sind die Ergebnisse korrekt?

Answer 1

Ich bekomme für die Determinante am Ende

2-a +(a-2)*i

denn det(A) = -(i-1)*(1-i)*(1+i)-a*(1-i)

=(1-i)(1-i²) - a + ai

=2(1-i)-a+ai

= 2 - 2i - a + ai

=(2-a)+(a-2)i

Das wäre 0 nur für a=2.