Aufgabe:
Sei a eine Menge von Komplexen Zahlen und
A=
\( \begin{pmatrix} 1+i & 1 & 0 \\ 1-i & 0 & 1-i \\ 0 & i-1 & a \end{pmatrix} \)
a) Bestimme in Abhängigkeit von a den Rang(A), Kern(A) und det(A).
b) Sei a=1 und f : ℂ3 → ℂ3 , x → Ax. Prüfe ob die Abbildung f injektiv ist.
Problem/Ansatz:
Folgendes habe ich ausgerechnet:
1. Fall a=0
x3 = t , t ∈ ℝ
x2 = 0
x1 = - \( \frac{(1-i)*t}{2} \), t ∈ ℝ\ {0}
det(A) = 0
Rang(A) = 2
Kern(A) = \( \begin{pmatrix} \frac{-(1-i)*t}{2}\\0\\t \end{pmatrix} \), t ∈ ℝ\ {0}
2. Fall a ≠ 0
x3 = 0
x2 = 0
x1 = 0
det(A) = -(i-1)*(1-i)*(1+i)-a*(1-i), a ∈ ℝ\ {0}
b)
a=1
Rang(A) = 3,
Kern(A) = {0},
==> f injektiv.
Sind die Ergebnisse korrekt?
